Browsing by Author "Rushchitsky, J. J."

Now showing 1 - 2 of 2

On three facts of reticences in the classical mathematical modeling of elastic materials
(Publishing House of Lviv Polytechnic National University, 2014) Rushchitsky, J. J.
Three facts of reticences (passing over in silence, an absence of comments) in the procedures of mathematical modeling of elastic materials are described and commented. The first fact consists in a reticence of one of the first steps in the mentioned above procedure an assumption that the kinematics of deformation is described by the linear approximation of motion of material continuum, namely by gradients of deformation. In the paper, a novel nonlinear approach to this procedure is offered. The second and third facts are associated with constitutive relations. The second fact consists in the absence of necessary comments relative to determination of smallness of strains and gradients of displacements (absence of comments relative to a criterion of applicability of the linear model) because the criterion |ui,k| ≪ 1 is sufficiently abstract. It is shown that there exists a based on the nonlinear Cauchy relations approximate procedure of determination of threshold values of strains and gradients of deformations starting with which a nonlinearity of process appears. The third fact consists in the absence of comments relative to essential differences between the nonlinear constitutive equations, which are written for the ordered pairs “Lagrange stress tensor – Cauchy-Green strain tensor” and “Kirchhoff stress tensor – gradients of displacements”. It is shown on an example of the shear stress and the Murnaghan model of nonlinear elastic deformation that deviation from the corresponding straight lines of linear deformation for different pairs differs in many times in the range of small strains and small gradients of displacements. The general estimate of facts of reticences looks positive, because for one part of scientists-mechanicians the reticences form the comfort feeling of monolithic character of the classical theory of elasticity, whereas for another part the reticences form a space for development of the theory of elasticity. Описано i прокоментовано три факти умовчання (вiдсутностi коментарiв) в процедурах математичного моделювання пружних матерiалiв. Перший факт полягає в некоментуваннi одного з перших крокiв у згаданiй процедурi припущення, що кiнематика деформування описується за допомогою лiнiйної апроксимацiї руху матерiального континууму, а саме за допомогою градiєнтiв деформацiї. У статтi запропоновано певний новий нелiнiйний пiдхiд в процедурi. Другий i третiй факти пов’язанi з побудовою визначальних рiвнянь. Другий факт полягає у вiдсутностi належних коментарiв щодо визначення малостi деформацiй i градiєнтiв змiщень (вiдсутностi коментарiв щодо критерiю застосування лiнiйної моделi, оскiльки критерiй |ui,k| ≪ 1 є досить абстрактним). Показано, що iснує базована на нелiнiйних спiввiдношеннях Кошi наближена процедура визначення порогових значень деформацiй i градiєнтiв змiщень, при яких вже починає виявлятися нелiнiйнiсть процесу деформування. Третiй факт полягає у вiдсутностi коментарiв щодо суттєвих вiдмiнностей мiж нелiнiйними визначальними рiвняннями, записаними для впорядкованих пар ¾тензор напружень Лягранжа – тензор деформацiй Кошi-Грiна¿ та ¾тензор напружень Кiрхгоффа – градiєнти змiщень¿. Показано на прикладi зсувних напружень та моделi нелiнiйного пружного деформуванняМернагана, що вiдхилення вiд вiдповiдних прямих лiнiйного деформування для рiзних пар вiдрiзняються в дiапазонi малих деформацiй i малих градiєнтiв змiщень у багато разiв. Загальна оцiнка фактiв умовчання виглядає позитивною, оскiльки для однiєї частини вчених-механiкiв умовчання створює комфортне вiдчуття монолiтностi класичної теорiї пружностi, а для iншої частини умовчання створюють простiр для розвитку теорiї.
To modeling the auxetic materials: some fundamental aspects
(Publishing House of Lviv Polytechnic National University, 2014) Rushchitsky, J. J.
The auxetic materials are considered from the point of view of correspondence to the classical theory of elasticity. It is shown that some classical postulates relative to the elastic constants should be refined. Three cases of description of auxetic materials by the model of linear elastic isotropic body, by the model of linear elastic transversally isotropic body, by the nonlinear elastic isotropic body (Murnaghan potential) are analyzed shortly. The initial assumption on positivity of internal energy of deformation is saved and then the uniform stress states (unilateral tension, omnilateral compression, pure shear) are used to analyze the elastic constants. This allows to describe the new mechanical effects: expansion of the standard sample-rod-prism under unilateral tension and expansion of the standard sample-cube under hydrostatic compression as well as an existence of the arbitrary negative values of Poisson ratios, what is accompanied by the negative values of the Lame, Young E and compression k moduli, for the linear isotropic case and some elastic constants in the linear transversely isotropic case. The case of nonlinear description shows that the auxetic materials should be defined by the primary physical effect observation in the standard for mechanics of materials experiment of longitudinal tension of a prism that the transverse deformation of prism is positive (a material as if swells) in contrast to the classical materials, where it is negative. Розглянуто ауксетичнi матерiали з точки зору вiдповiдностi класичнiй теорiї пружностi. Показано, що деякi класичнi постулати щодо пружних констант повиннi бути уточненi. Проаналiзовано коротко три випадки опису ауксетичних матерiалiв за допомогою моделi лiнiйного пружного iзотропного тiла, за допомогою моделi лiнiйного пружного трансверсально iзотропного тiла, за допомогою моделi нелiнiйного пружного iзотропного тiла (потенцiал Мернагана). Збережено початкове припущення про додатнiсть внутрiшньої енергiї деформування i далi використано однорiднi напруженi стани (одновiсний розтяг, всестороннiй стиск, чистий зсув) для аналiзу пружних констант. Це дозволяє описати новi механiчнi ефекти: розширення стандартного зразка-стержня-призми при одновiсному розтязi i розширення стандартного зразка-куба при гiдростатичному стиску, а також iснування довiльних вiд’ємних значень коефiцiєнтiв Пуассона, яке супроводжується вiд’ємними значеннями модулiв Ляме, Юнга E i всестороннього стиску k у випадку лiнiйного iзотропного тiла i деяких пружних констант у випадку лiнiйного трансверсально iзотропного тiла. Аналiз випадку нелiнiйного iзотропного тiла пiдтвердив попереднi спостереження, що ауксетичнi матерiали повиннi означатися за первинним фiзичним явищем спостереженням у стандартному для механiки матерiалiв експериментi про одновiсний розтяг призми, що поперечна деформацiя призми є додатною (матерiал наче розбухає) на вiдмiну вiд класичних матерiалiв, де ця деформацiя є вiдємною.