Browsing by Subject "approximation"
Now showing 1 - 20 of 25
- Results Per Page
- Sort Options
Item Approximation of equivalent source parameters change function by Franklin functions(Publishing House of Lviv Polytechnic National University, 2016) Zhuikov, Valery; Osypenko, KaterynaA problem of approximation of the primary energy flow parameters change function by linear approximations to ensure a minimal error is considered in the paper. A representation of the parameters of voltage and internal resistance of equivalent generators of renewable sources as linear functions allows an increase in the level of energy transmitted to the load. To solve the problem set, it is proposed to approximate the primary energy flow parameters change function by the system of Franklin orthonormal functions. It is shown that applying the m-shift operation to the Franklin orthogonal functions minimizes the error and the number of approximating functions. Розглянуто проблему апроксимації функції зміни параметрів потоку первинної енергії лінійними наближеннями із забезпеченням мінімальної похибки наближення. Подано параметри напруги та внутрішнього опору еквівалентних генераторів відновлюваних джерел лінійними функціями, яке дає змогу підвищити рівень енергії, що передається в навантаження. Запропоновано вирішення сформульованої проблеми через наближення функції зміни параметрів потоку первинної енергії системою ортонормованих функцій Франкліна. Показано, що застосування операції m-зсуву до ортогональних функцій Франкліна дає можливість мінімізувати похибку та кількість апроксимувальних функцій.Item Approximation of fractional order differential-integral controllers by integer order transfer functions(Publishing House of Lviv Polytechnic National University, 2014) Marushchak, Yaroslav; Kopchak, BohdanРозглянуто апроксимацію диференціально-інтегрувальних регуляторів дробового порядку передавальними функціями цілого порядку за використання перетворення Оусталоупа. The article is devoted to the approximation of fractional order differential-integral controllers by integer order transfer functions using the Oustaloup transformation. The dependence of the accuracy of practical approximation of fractional differential and integral units by the ratio of integer order polynomials on the Oustaloup transformation order has been examined. A modification of the Oustaloup method in which the order of the numerator polynomial is decremented by one has been proposed, and the recommendations for practical implementation of analog fractional order PI controllers have been made. Досліджено залежність точності практичної апроксимації дробових диференціальної та інтегральної ланок відношенням поліномів цілого порядку від порядку перетворення Оустолоупа. Запропоновано модифікацію методу Оусталоупа, в якій порядок поліному чисельника зменшений на одиницю і розроблено рекомендації шодо практичної реалізації аналогових ПІ-регуляторів дробового порядку.Item Comparative analysis of algorithms for projected laser line identification and recognition for 3d scanning devices(Видавництво Львівської політехніки, 2015) Andrushchak, N.; Vasylyshyn, В.; Chornenkyy, V.Проведено порівняльний аналіз алгоритмів визначення та розпізнавання лінії лазерного випромінювання, описано принцип дії, негативні і позитивні сторони кожного методу, а також показано можливості їхнього застосування для пристроїв 3D-сканування. Тестування алгоритмів проведено на експериментальній установці з використанням засобів С++ і бібліотеки OpenCV. Показано, що залежно від розмірів зображення та деталізації вхідного зображення слід рекомендувати той чи інший алгоритм. This paper is devoted to the comparative analysis of algorithms for identification and recognition of the projected laser line. The principles of these methods, their negative and positive aspects and the possibilities of their implementation for 3D-scanning devices are described. Algorithms approbation was conducted on experimental setup using C++ programming language and OpenCV library. It is shown that, depending on the image size and details of the input image, one or another algorithm should be applied.Item Definition of the operated reinforced concrete structures condition(Видавництво Львівської політехніки, 2013) Savytskyi, Aleksandr; Shevchenko, TatyanaA method is developed, which allows to determine category of the technical condition of bending reinforced concrete structures based on a probabilistic interpretation of the actual values of strength, based on the actual load level.Item Effective methods of approximation and prognostication of settling engineering buildings(Видавництво Львівської політехніки, 2018-02-26) Баран, П.; Baran, P.; Івано-Франківський національний технічний університет нафти і газу; Ivano-Frankivsk national technical university of oil and gasУдосконалення методів апроксимації осідань експоненціальною, дрібнораціональною, поліномінальною та синусоїдними функціями з визначенням інтервалів між циклами спостережень. Методика і результати роботи. Розглянуто методи апроксимації та прогнозування осідань контрольних реперів і марок споруд. Особливу увагу звернено на експоненціальну функцію з використанням простого і точного способу визначення коефіцієнта інтенсивності осідання за середніми значеннями самих осідань і часових інтервалів, який дає змогу суттєво зменшити обсяг ітераційних обчислень. Запропонований у статті точний (інтегральний) метод визначення коефіцієнта інтенсивності осідання практично дає можливість вилучити ітераційний процес обчислень і за даними апроксимації осідань уточнювати коефіцієнти стискування або пористості ґрунту, які визначаються із лабораторних досліджень ґрунту. Для заміни методів поліному і синусоїди розроблено алгоритм апроксимації осідань методом дрібнораціональної функції, що його запропонував В. В. Зіборов [Зиборов, 1972], та методику визначення міжциклових часових інтервалів для виконання раціональних моніторингових спостережень за вертикальними зміщеннями споруд. Показано ефективність застосування методу дрібнораціональної функції та практичну недоцільність використання функції поліному та синусоїди для апроксимації осідань. Доведено, що запропонований В. В. Зіборовим метод дрібнораціональної функції є найпростішиим в організації обчислень. Наукова новизна. Виконані удосконалення підвищують ефективність і репрезентативність даних апроксимації, сприяють зменшенню обсягу обчислень. Практична цінність. Розроблення методики розрахунку часових інтервалів між циклами спостережень для різних функцій апроксимації практично дає змогу вилучити ітераційний процес визначення коефіцієнта інтенсивності осідання для експоненти та використання цього коефіцієнта для уточнення коефіцієнтів стисливості або пористості ґрунту, які визначаються за його лабораторними дослідженнями.Item Genetic Algorithm Application for Synthesis and Analysis of Electromechanical Systems(Lviv Politechnic Publishing House, 2018-02-26) Копчак, Богдан; Каша, Лідія; Kopchak, Bohdan; Kasha, Lidiya; Національний університет “Львівська політехніка”; Lviv Polytechnic National UniversityОдин із методів вирішення задач аналізу та синтезу електромеханічних систем (ЕМС) є використання підходів штучного інтелекту, а саме методу генетичного алгоритму (ГА). Оригінальність описаного у статті підходу полягає у застосуванні моделей дробового порядку для вирішення таких задач. В розроблених алгоритмах процедур аналізу та синтезу ЕМС запропоновано використовувати функцію якості, та, контролюючи результат після кожної ітерації, отримувати бажане значення відхилення результатів. Застосування методу ГА при використання моделей дробового порядку є ефективним засобом апроксимації перехідних процесів ЕМС дробовими моделями та вибору параметрів дробових регуляторів.Item Image compression based on the Visvalingam-Whyatt algorithm(Lviv Polytechnic Publishing House, 2016) Melnyk, R. A.; Shokur, Y. L.; Lviv Polytechnic National UniversityAlgorithm of Visvalingam-Whyatt for polyline simplification (piecewise approximation) was used for image compression. The compression method was investigated for different tolerances and steps in the algorithm application for pixel rows and columns.Item Solutions of coupled problem of thermomechanics for electroconductive hollow cylinder under non-stationary electromagnetic action(Lviv Politechnic Publishing House, 2017-06-15) Мусій, Р.; Дрогомирецька, Х.; Орищишин, О.; Musij, R.; Drohomyretska, Kh.; Oryshchyn, O.; Національний унівеpситет «Львівська політехніка»; Lviv Polytechnic National UniversityСформульовано плоску осесиметричну зв’язану динамiчну задачу термомеханiки для електропровiдного порожнистого цилiндра за однорiдної нестацiонарної електрома- гнiтної дiї. Для побудови ї ї розв’язку використано апроксимацiю визначальних фун- кцiй осьової комппоненти вектора напруженостi магнiтного поля, температури та радiальної компоненти вектора перемiщень за радiальною змiнною кубiчними по- лiномами. У результатi вихiднi початково-крайовi задачi на визначальнi функцiї зве- дено до задач Кошi за часовою змiнною на iнтегральнi характеристики цих функцiй. Отримано вирази iнтегральних характеристик у виглядi згорток функцiй, що опи- сують однорiднi розв’язки та заданi граничнi значення визначальних функцiй. Як приклад числово проаналiзовано амплiтудно-частотнi характеристики радiальних на- пружень у цьому цилiндрi за врахування зв’язностi полiв температури i перемiщень i без такого врахування.Item Syncronous generator macromodel(Odessa National Polytechnic University, 2006) Matviychuk, YaroslavThe regularised method of macromodel identification, based on the splitting of the signal spectrum and to select such basic functions of approximation, are described on the example of synchronous generator macromodel.Item The problem of providing of reliability of radio electronic means in terms of operating vagueness(Видавництво Львівської політехніки, 2012) Shynkaruk, Oleg; Sobchenko, VladimyrThe problems of forecasting the reliability of complex technical systems are examined with providing of minimum approximation error indexes and the possibility of removal operational vagueness of parameters.Item Автоматизована ідентифікація об’єктів регулювання за їх експериментальними імпульсними характеристиками(Видавництво Львівської політехніки, 2013) Ковела, І.; Вітер, О.; Яцук, Ю.Пропонується новий метод отримання передавальних функцій об’єктів регулювання за їх експериментальними імпульсними характеристиками, який полягає у тому, що задача ідентифікації зводиться до математичної задачі апроксимації експериментальних даних аналітичними виразами і розв’язання її за допомогою інформаційних технологій. A new method of transfer functions regulated objects for their experimental impulse response, which is that the identification problem is reduced to the mathematical problem of approximation of experimental data analytic expressions and solve it by using information technology.Item Адміністративний договір як форма публічного управління в сфері організації послуг з перевезення пасажирів автомобільним транспортом загального користування(Видавництво Львівської політехніки, 2014) Бортник, Н. П.; Єсімов, С. С.Порушуються теоретичні аспекти застосування адміністративного договору як форми публічного управління в сфері організації послуг з перевезення пасажирів автомобільним транспортом загального користування у контексті огляду адаптації національного транспортного законодавства до вимог Європейського Союзу. На цій підставі розглядаються ознаки, функції та види адміністративних договорів у сфері організації обслуговування пасажирів автомобільним транспортом загального користування. Поднимаются теоретические аспекты применения административного договора как формы публичного управления в сфере организации услуг по перевозке пассажиров автомобильным транспортом общего пользования в контексте адаптации национального транспортного законодательства с требованиями Европейского Союза. На этом основании рассматриваются признаки, функции и виды административных договоров в сфере организации обслуживания пассажиров автомобильным транспортом общего пользования. In this article violates theoretical aspects of administrative contract as a form of public administration in the field of organization of passenger road transport due to the adaptation of national transport legislation with the European Union. On this basis we considered features, functions and types of administrative agreements in the field of passenger service by road transport.Item Аналіз точності апроксимації об’єктів електромеханічних систем високого порядку дробовими передавальними функціями різного типу(Видавництво Львівської політехніки, 2014) Копчак, Б. Л.Проведено апроксимацію передавальної функції високого порядку синтезованими методом рою частинок ланками (моделями) дробового порядку різного типу та отримано оцінку точності такої апроксимації на основі порівняння перехідних та частотних характеристик шляхом математичного моделювання в середовищі MATLAB Simulink. Доведено, що для апроксимації перехідної характеристики асинхронного генератора з самозбудженням доцільності використовувати дробову модель першого порядку. An approximation of the transfer function of the high-order particle swarm synthesized by links (models) of various types of fractional order and estimate the accuracy of this approximation by comparing transient and frequency characteristics by means of mathematical modelling in MATLAB Simulink. We prove that the approximations for induction generator with self excitation using fractional model of the first order.Item Аналіз і синтез електромеханічних систем, які описуються дробовими інтегрально-диференційними ланками(Національний університет "Львівська політехніка", 2017) Копчак, Богдан ЛюбомировичДисертація присвячена вирішенню важливої науково-прикладної проблеми – аналізу і синтезу електромеханічних систем, в склад яких входять інтегро-диференційні ланки дробового порядку, для покращення їх стійкості та робастності, шляхом розроблення алгоритмів функціонування дробових регуляторів та їх апаратної реалізації. На основі перетворення Оусталоупа розроблено програмне забезпечення для аналізу і синтезу для електромеханічних систем за використання операторів Лапласа дробового порядку, яке у порівнянні з пакетом NINTEGER дозволяє забезпечити аналогічну точність, але реалізується не тільки в середовищі MATLAB/Simulink, але і в програмному середовищі MATLAB. Таким чином, структура апроксимуючої передавальної функції, отримана за такого перетворення, і її параметри відображаються в пам’яті MATLAB, що спрощує їх перегляд, дослідження і перевірку. Розроблено програмне забезпечення, що за використання методу рою частинок дозволяє реалізувати самоналагодження електромеханічних систем шляхом їх ідентифікації, апроксимації дробовими моделями і синтезу регулятора дробового порядку за бажаною якістю перехідного процесу, який запропоновано задавати точками перехідної функції бажаної дробової форми, або характерними точками перехідної функції бажаної дробової форми. Рекомендовано застосування двох бажаних дробових форм, за умови що для форми №1 q = 0,9 ÷ 1,3, а для форми №2 q = 0,1 ÷ 2, що дозволяє розширити гамму можливих налаштувань дробових регуляторів при синтезі контурів електромеханічних систем і таким чином підвищує ефективність синтезованих ЕМС. Розроблено алгоритм налагодження ПІД-регулятора шляхом порівняння перехідної характеристики електромеханічної системи з бажаною за використання методу рою частинок. Завдяки цьому даний алгоритм може бути використаний в режимі самоналагодження системи автоматичного керування та її ідентифікації за умови невизначеності параметрів об’єкта керування. Розроблений ПIλДμ-регулятор реалізовано як опцію в програмованому логічному контролері перетворювача частоти MFC710, що дозволяє керувати координатами електропривода (частотою обертання) або технологічними параметрами (температурою, тиском тощо) з можливістю його використання у режимі самоналагодження. Диссертация посвящена решению важной научно-прикладной проблемы – анализа и синтеза электромеханических систем, в состав которых входят интегро-дифференциальные звена дробного порядка, для улучшения их устойчивости и робастности, путем разработки алгоритмов функционирования дробных регуляторов и их аппаратной реализации. Для электромеханических систем на основе преобразования Оусталоупа разработано программное обеспечение для их анализа и синтеза при использовании операторов Лапласа дробного порядка, что по сравнению с пакетом NINTEGER позволяет обеспечить аналогичную точность, но реализуется не только в среде MATLAB / Simulink но и в программной среде MATLAB, то есть структура аппроксимирующей ПФ, полученной при таком преобразовании, и ее параметры отображаются в памяти MATLAB, что упрощает их просмотр, исследования и проверку. Разработано программное обеспечение, позволяющее реализовать за использование метода роя частиц самоналадку электромеханических систем путем их идентификации, аппроксимации дробными моделями и синтеза регулятора дробного порядка с желаемым качеством переходного процесса, который предложено задавать точками переходной функции желаемой дробной формы, или характерными точками переходной функции желаемой дробной формы. Рекомендовано применение двух желаемых дробных форм, при условии что для формы №1 q = 0,9 ÷ 1,3, а для формы №2 q = 0,1 ÷ 2, что позволяет расширить гамму возможных настроек дробных регуляторов при синтезе контуров электромеханических систем и тем самым повышает эффективность синтезированных электромеханических систем. Разработана методика синтеза систем автоматического управления на основе дробного характеристического полинома пригодна для выбора параметров как дробных, так и целочисленных регуляторов, которые являются частным случаем дробных, позволяет обеспечивать желаемое качество переходного процесса, но структура дробного регулятора зависит от передаточной функции объекта управления. Разработано алгоритм настройки ПИД-регулятора путем сравнения переходной характеристики электромеханической системы с желаемой за использования метода роя частиц, благодаря чему данный алгоритм может быть использован в режиме самонастройки системы автоматического управления и ее идентификации при неопределенности параметров объекта управления. Разработанный ПIλДμ-регулятор реализовано как опцию в программируемом логическом контроллере преобразователя частоты ПЧ MFC710, что позволяет управлять координатами электропривода (частотой вращения) или технологическими параметрами (температурой, давлением и т.п.) с возможностью его использования в режиме настройки. Испытания опции ПЧ MFC 710 с ПIλДμ-регулятором дробного порядка в системе управления скорости за использование стенда подтвердили ее эффективность с точки зрения расширения регулирующих возможностей такого регулятора по сравнению с классическим ПИД-регулятором для систем ПЧ-АД. Возможность регулирования Дμ-составной регулятора обеспечивает эффект фильтрации переменной составляющей на выходе регулятора скорости, то есть к уменьшению пульсаций момента АД. Подход к синтезу за использование дробного характеристического полинома позволяет получить структуру и параметры дробного регулятора в результате относительно простых расчетов. Дробный регулятор, синтезированный для системы ПЧ-АД, описанного как объект управления ПФ по результатам экспериментальных исследований и входного задания на 1200 об. / мин., удовлетворительно работает и на других заданных скоростях. Проведенные исследования различных вариантов параметрического синтеза ПIλДμ-регулятора дробного порядка скорости для ПЧ-АД за использование методов интеллектуального управления, в частности генетического алгоритма, показали полную работоспособность такого подхода. ПIλДμ-регуляторы синтезированные интеллектуальными методами для ПЧ-АД, описанного как объект управления ПФ по результатам экспериментальных исследований и входного задания на 1200 об. / мин., удовлетворительно работают и на других заданных скоростях. The thesis is devoted to solving of a topical scientific and applied problem, i.e. the analysis and synthesis of electromechanical systems which include integral-differential fractional order units in order to improve their stability and robustness by developing algorithms of fractional controllers functioning and their hardware implementation. On the basis of Oustaloup transformation there has been developed software for analysis and synthesis of electromechanical systems by applying fractional order Laplace operators, which ensures the same accuracy in comparison with NINTEGER package, but is implemented not only within the MATLAB/Simulink but also in MATLAB software environment. Thus, the structure of approximating transfer function obtained by such transformation and its settings are displayed in MATLAB memory, facilitating their viewing, research and verification. There has also been developed software that enables self-tuning of electromechanical systems by means of using particle swarm optimization method through their identification, approximation by fractional models and synthesis of fractional order controller for the desired quality of the transition process, which has been proposed to be set by the points of transition functions of desired fractional form or by characteristic points of the transition function of desired fractional form. Application of two desired fractional forms has been recommended on condition that q = 0,9 ÷ 1,3 for Form №1, and q = 0,1 ÷ 2 for Form №2, thus extending the range of possible settings of fractional controllers with the synthesis of electromechanical systems loops and increasing the efficiency of synthesized electromechanical systems. The algorithm for PIλDμ-controller tuning has been developed through comparison of transition function of electromechanical system with the desired one by using particle swarm optimization method, due to which this algorithm can be used in self-tuning mode of automatic control system and its identification under uncertainty of control object parameters. The designed PIλDμ-controller has been implemented as an option in the programmable logic controller of MFC710 frequency converter, which enables control of the electric drive coordinates (rotation speed) or technological parameters (temperature, pressure, etc.) with the possibility of its application in the self-tuning mode.Item Апроксимаційні залежності процесу регенерації відпрацьованої моторної оливи(Видавництво Львівської політехніки, 2012) Чайка, О. Г.; Петрушка, І. М.; Малик, Ю. О.; Чайка, Ю. А.Отримані апроксимаційні залежності дають можливість максимально точно встановити основні параметри процесу регенерації відпрацьованої моторної оливи за заданих умов. The obtained approximation depends allow to set accurately the basic parameters of the waste motor oil regeneration process by the different conditions.Item Апроксимація аномалій сили ваги методом ASHA на територію Арктики(Видавництво Львівської політехніки, 2014) Джуман, Б.Розглянуто методику побудови локального гравітаційного поля аномалій сили ваги з використанням техніки spherical cap harmonic analysis (SCHA). Цей підхід передбачає використання приєднаних функцій Лежандра цілого степеня і дійсного порядку. Ці функції формують дві системи функцій, у кожній із цих систем вони є ортогональними між собою на “шапці” сфери. Проте в загальному ці функції не є ортогональними. Тому для використання обох систем функцій традиційно використовують спосіб найменших квадратів. Проте для високих порядків досить складно знаходити власні числа даних функцій та їхню норму. Тому обгрунтовано використання техніки adjusted spherical harmonic analysis (ASHA) для побудови локального поля аномалій сили ваги. Техніка ASHA передбачає проектування вихідних даних аномалій сили ваги із сегмента сфери на півсферу і подальше використання сферичних функцій цілого степеня і цілого порядку. Очевидно, на півсфері ми також отримаємо дві системи ортогональних функцій. Для першої системи функцій різниця п-т буде парним числом. Своєю чергою, для другої системи функцій різниця п-т буде непарним числом. За допомогою техніки ASHA побудовано поле аномалій сили ваги на територію Арктики 100-го порядку з використанням алгоритму пришвидшеного знаходження матриці нормальних рівнянь і гармонічних коефіцієнтів. Цей алгоритм передбачає проектування вихідних даних на рівномірну сітку. У такій рівномірній сітці відстань між паралелями може бути довільною. Своєю чергою, відстань між меридіанами має зберігати стале значення. У такому разі під час побудови матриці нормальних рівнянь можна використати дискретні ортогональні відношення базисних функцій по довготі. Також побудовано поле аномалій сили ваги на територію Арктики з використанням моделі ЕОМ 2008 до 360-го порядку. Для оцінки точності порівняно отриману модель аномалій сили ваги і побудоване поле аномалій сили ваги з моделі ЕОМ 2008. Знайдено основні характеристики вихідного поля аномалій сили ваги на територію Арктики, а також модельних значень та їх різниць. Рассмотрена методика построения локального гравитационного поля аномалий силы тяжести с использованием техники spherical cap harmonic analysis (SCHA). Этот подход предусматривает использование присоединенных функций Лежандра целого степени и действительного порядка. Эти функции формируют две системы функций, в каждой из этих систем они ортогональными между собой на "шапке" сферы. Однако в общем эти функции не являются ортогональными. Поэтому для использования обоих систем функций традиционно используют способ наименьших квадратов. Однако для высоких порядков достаточно сложно находить собственные числа данных функций и их нормы. Поэтому обоснованно использование техники adjusted spherical harmonic analysis (ASHA) для построения локального поля аномалий силы тяжести. Техника ASHA предусматривает проектирование исходных данных аномалий силы тяжести из сегмента сферы на полусферу и дальнейшее использование сферических функций целого степени и целого порядка. Очевидно, на полусфере мы также получим две системы ортогональных функций. Для первой системы функций разница п-т будет четным числом. В свою очередь, для второй системы функций разница п-т будет нечетным числом. С помощью техники ASHA построено поле аномалий силы тяжести на территорию Арктики 100-го порядка с использованием алгоритма ускоренного нахождения матрицы нормальных уравнений и гармоничных коэффициентов. Этот алгоритм предусматривает проектирование исходных данных на равномерную сетку. В такой равномерной сетке расстояние между параллелями может быть произвольной. В свою очередь, расстояние между меридианами должно сохранять постоянное значение. В таком случае при построении матрицы нормальных уравнений можно использовать дискретные ортогональные отношение базисных функций по долготе. Также построено поле аномалий силы тяжести на территорию Арктики с использованием модели ЭВМ 2008 до 360-го порядка. Для оценки точности сравнительно полученную модель аномалий силы тяжести и построено поле аномалий силы тяжести с модели ЭВМ 2008 Найдено основные характеристики исходного поля аномалий силы тяжести на территорию Арктики, а также модельных значений и их разностей. We consider the method of constructing the local gravity field using technique called spherical cap harmonic analysis (SCHA). This approach involves using of associated Legendre functions of integer degree and noninteger order. These functions form two sets of functions. They are mutually orthogonal over the spherical cap in each set. However, in general these functions are not orthogonal. Thus, for using both of these sets of functions it is traditionally used least squares method. However, for higher orders it is quite difficult to compute eigenvalues and norms of these functions. Therefore, we substantiate the use of technique adjusted spherical harmonic analysis (ASHA) for constructing local field of gravity anomalies. The technique ASHA provides of projection of initial data of gravity anomalies from segment of sphere to hemisphere and continued using of spherical functions of integer degree and integer order. Obviously, on hemisphere we will also obtain two sets of orthogonal functions. For the first system of functions difference n-m will be even. In turn, for the second system of functions difference n-m will be odd. With using technique ASHA we constructed field of gravity anomalies up to 100 order on Arctic area using accelerated algorithm of computation of normal equations matrix and harmonic coefficients. This algorithm provides designing of initial data on a uniform grid. In such uniform grid distance between parallels can be arbitrary. In turn, the distance between meridians must keep constant value. In this case, during the construction of the normal equations matrix we can use discrete orthogonal relation between basis functions in longitude. Also we built field of gravity anomalies on Arctic area using model EGM 2008 up to 360 order. To estimate accuracy we compared obtained model of gravity anomalies and constructing field of gravity anomalies from model EGM 2008. We found the main characteristics of initial field of gravity anomalies on Arctic area and the model values and their differences.Item Апроксимація висот фізичної поверхні Землі двовісним і тривісним еліпсоїдами(Видавництво Львівської політехніки, 2016) Церклевич, А.; Заяць, О.; Шило, Є.Мета. В науках про Землю широкого значення набувають планетарні задачі. Метою цієї роботи є удосконалення методики та створення оптимального алгоритму для апроксимації поверхні літосфери Землі двовісним і тривісним еліпсоїдами для дослідження динаміки зміни її фігури. Методика. Класичні підходи визначення фігури Землі передбачають визначення еліпсоїда обертання, що найкраще описує поверхню геоїда, або ж квазігеоїда. Такий підхід забезпечує вихідну поверхню відліку для багатьох референцних систем. Для вивчення геодинамічних процесів у планетарному масштабі актуальними є питання визначення розмірів і орієнтування такого еліпсоїда, який найбільш близько підходив би до поверхні літосфери Землі. Вирішення цієї задачі розглядається на прикладі апроксимації висот поверхні літосфери двовісним і тривісним еліпсоїдом. Описані алгоритми застосовуються для апроксимації висот моделі геоїда EGM2008 та ЦМР ETOPO1. Висоти моделей усереднюються в межах трапецій 5º×5º. На основі цих даних знаходяться параметри двовісного і тривісного еліпсоїдів. Для перевірки алгоритмів вирішення цих задач застосовується порівняльний аналіз результатів апроксимації запропонованими методами. Результати. Отримані результати і їх порівняльний аналіз з параметрами еліпсоїда, встановлених у геодезичних датах, свідчать про те, що запропоновані алгоритми апроксимації є достовірними і їх можна використовувати для дослідження планетарної динаміки фігури Землі. Наукова новизна. Удосконалена методика та створені оптимальні алгоритми апроксимації висот поверхні літосфери Землі. Практична значущість. Подані алгоритми апроксимації висот фізичної поверхні Землі будуть використовуватись у подальших дослідженнях, які спрямовані на вивчення планетарних характеристик нашої планети та динаміки їхніх змін у часі. Такі підходи до апроксимації поверхні будуть корисні не тільки для наук про Землю і планет земної групи, а й до інших напрямків, де ставиться задача моделювання об’єктів з такою геометричною формою. Цель. В науках о Земле все большое значение приобретают планетарные задачи. Целью данной работы является совершенствование методики и алгоритмов аппроксимации высот физической поверхности планеты двухосным и трехосным эллипсоидом для исследования динамики изменения ее фигуры. Методика. Классические подходы определения фигуры Земли предусматривают определение эллипсоида вращения, который лучше всего описывает поверхность геоида, или квазигеоида. Такой подход обеспечивает исходную поверхность отсчета для многих референсных систем. Для изучения геодинамических процессов в планетарном масштабе актуальными являются вопросы определения размеров и ориентации такого эллипсоида, который наиболее близко подходил к поверхности литосферы Земли. Решение этой задачи рассматривается на примере аппроксимации высот поверхности литосферы двухосным и трехосным эллипсоидами. Описанные методы применяются для аппроксимации высот модели геоида EGM2008 и ЦМР ETOPO1. Высоты моделей усредняются в пределах трапеций 5º×5º, на основе этих данных находятся параметры двухосного и трехосного эллипсоида. Для проверки алгоритмов решения этих задач применяется сравнительный анализ результатов аппроксимации предложенных методов. Результаты. Полученные результаты и их сравнительный анализ с параметрами эллипсоида, установленных в геодезических датах, свидетельствуют о том, что предложенные алгоритмы аппроксимации являются достоверными и их можно использовать для исследования планетарной динамики фигуры Земли. Научная новизна. Усовершенствованная методика и созданы оптимальные алгоритмы аппроксимации поверхности литосферы Земли. Практическая значимость. Представленные алгоритмы аппроксимации физической поверхности Земли могут использоваться в дальнейших исследованиях, направленных на изучение планетарных характеристик нашей планеты и динамики их изменений во времени. Также такие подходы к аппроксимации поверхности будут полезны не только для наук о Земле и планетах, но и в других направлениях, где ставится задача моделирования объектов с такой геометрической формой. Purpose. Planetary problems play in geosciences very important role. The aim of this work is to improve methods and algorithms for approximating of the physical surface of the planet by biaxial and triaxial ellipsoid for study the dynamics of change of its shape. Methods. Classical approaches to the determination of Earths shape provide computation of evolution ellipsoid parameters of that in the best way fits to geoid, or quasigeoid. Such approach allows to provide initial reference surface for many coordinates systems. The problem of determination of the size and orientation of the ellipsoid that most closely matched to the surface of the Earth's lithosphere is very relevant for the study of geodynamic processes in a planetary scale. The solution to this problem is considered on the example of lithosphere heights approximation by biaxial and triaxial ellipsoid. Described in paper algorithms was used to for the approximation of the geoid model EGM2008 and DEM ETOPO1. For the approximation we used average values of geoidal ondulation and physical surface heights within 5º×5º spherical trapezoids. To verify algorithm we compare approximation result obtained by the proposed methods. Results. Comparative analysis of Lviv Polytechnic National University Institutional Repository http://ena.lp.edu.ua Геодезія 49 obtained results indicates that proposed approximation methods are reliable and can be used for the investigation of Earths planetary dynamic. The scientific novelty. Improved methods and algorithms was created for the best approximation of the surface of the Earth's lithosphere. The practical significance. Approximation algorithms of the physical surface of the Earth will be used in further research aimed at studying the characteristics of our planet planetary dynamics and their time changes. Such approaches to surface approximation are useful not only for Earth an planets Science but also in other areas where the problems arise in ellipsoidal objects modelling.Item Апроксимація функцій середніх квадратичних похибок площ земельних ділянок для визначення їх допустимих значень(Видавництво Львівської Політехніки, 2014) Рябчій, В. В.; Трегуб, М. В.Метою цієї статті є дослідження результатів апроксимації функцій обчислення середніх квадратичних похибок площ земельних ділянок для визначення такої функції апроксимації, яка б дала змогу якнайточніше обчислювати значення допустимих середніх квадратичних похибок площ залежно від розміру і коефіцієнта видовженості земельних ділянок. Методика. Для поставленої мети виконано апроксимацію функцій за методом найменших квадратів. Для апроксимації використано дві функції – натурального логарифму та степеневу, а також виконано оцінку точності. В результаті дослідження встановлено, що середні квадратичні похибки площ земельних ділянок добре описуються цими двома функціями, що підтверджується одержаними значеннями коефіцієнтів детермінованості, близькими до одиниці. Наукова новизна наведеного дослідження полягає у тому, що встановлені математичні залежності дають змогу диференційовано, залежно від значення площі і коефіцієнта видовженості, встановлювати допустимі середні квадратичні похибки визначення площ земельних ділянок розміром від 0,1 до 100 га. Вони дають фактично однакові результати для запропонованих функцій. Практична значущість. Наведено відповідні висновки і пропозиції стосовно розроблених математичних моделей (формул), які можуть бути використані геодезичними і землевпорядними організаціями, територіальними підрозділами Державного агентства земельних ресурсів України та регіональними Центрами державного земельного кадастру України, їх контролюючими органами для швидкого визначення та перевірки значень допустимих похибок площ земельних ділянок, а також у навчальному процесі. Целью данной статьи является исследование результатов аппроксимации функций вычисления средних квадратических ошибок площадей земельных участков для определения такой функции аппроксимации, которая бы позволяла наиболее точно вычислять значения допустимых средних квадратических ошибок площадей в зависимости от размера и коэффициента удлиненности земельного участка. Методика. Для выполнения поставленной цели выполнена аппроксимация функций методом наименьших квадратов. Для аппроксимации использованы две функции – натурального логарифма и степенная, а также выполнена оценка точности. В результате исследования установлено, что средние квадратические погрешности площадей земельных участков хорошо описываются этими двумя функциями, что подтверждается полученными значениями коэффициентов детерминированности, близкими к единице. Научная новизна проведенного исследования заключается в том, что установленные математические зависимости позволяют дифференцированно в зависимости от значения площади и коэффициента удлинённости устанавливать допустимые средние квадратические погрешности определения площадей земельных участков размером от 0,1 до 100 га. Они дают практически одинаковые результаты для предложенных функций. Практическая значимость. Приведены соответствующие выводы и предложения по разработанным математическим моделям (формулам), которые могут быть использованы геодезическими и землеустроительными организациями, территориальными подразделениями Государственного агентства земельных ресурсов Украины и региональными центрами государственного земельного кадастра Украины, их контролирующими органами для быстрого определения и проверки значений допустимых погрешностей площадей земельных участков, а также в учебном процессе. The purpose of this article is the research of results of approximation of functions of calculation of the meansquare errors of land parcels areas to determine such approximation function, which would allow most accurately calculate the permissible values of mean square errors depending on the size and elongation of land parcel. Methods. To meet the goal an approximation of functions by the method of least squares was performed. Two functions were used for approximation – the natural logarithm and power, as well as the evaluation of the accuracy was done. The study found that the mean square error of the areas of land parcels are well described by these two functions, that is confirmed by the obtained values of the coefficient of determination which are close to unity. Scientific novelty of this study lies in the fact that the established mathematical dependences allow differentially depending on the area of land parcel and elongation coefficient to establish allowable mean square error of the determination of areas of land parcels with size from 0.1 to 100 ha. Both functions provide almost equal results. The practical significance. The corresponding conclusions and suggestions on developed mathematical models (formulas) that can be used by geodetic and land management organizations, territorial divisions of the State Agency of Land Resources of Ukraine and regional centers of the State Land Cadastre of Ukraine, their supervisory authorities to quickly identify and verify the values of the land parcels areas errors, as well as in the educational process.Item Використання генетичних алгоритмів для апроксимації функцій дійсними поліномами(Видавництво Львівської політехніки, 2011) Самотий, В.; Дзелендзяк, У.Наведено метод апроксимації функцій поліномами з дійсними степенями, в якому підбір степеня здійснюється за допомогою генетичного алгоритму. The method of approximation of functions by polynomials with real powers, which is the power of selection with a genetic algorithm.Item До питання апроксимації одного ядра сингулярного інтегрального рівняння(Видавництво Національного університету "Львівська політехніка", 2004) Кривцун, М.; Фис, М.; Лисий, І.; Грилицький, М.Уточнено апроксимацію ядра сингулярного інтегрального рівняння для півплощини з прямолінійною тріщиною, перпендикулярною до границі. Approximation of the nucleus of the singular integral equation for a half-plane with a rectilinear crack perpendicular to the boundary is specified in the paper.