Researching the influence of the mass distribution inhomogeneity of the ellipsoidal planet’s interior on its stokes constants - Фис, М. М.; Бридун, А. М.; Юрків, М. І.; Fys, M. M.; Brydun, A. M.; Yurkiv, M. I. (Lviv Polytechnic Publishing House, 2019)
Параметри гравітаційного поля Землі ( , , n k С n,k S ) визначаються її фігурою та внутрішнім наповненням (розподілом мас), які по-різному впливають на їх формування. Подаючи функцію розподілу мас надр планети у вигляді біортогональних рядів, встановимо зображення стоксових постійних , , n k С n,k S через коефіцієнти mnk b розкладу потенціалу планети та лінійні комбінації геометричних характеристик еліпсоїда. На основі отриманих формул вивчити можливий вплив неоднорідності функції розподілу мас надр Землі та подання її фігури еліпсоїдом обертання на значення величин стоксових постійних та дослідити вклад радіального розподілу густини мас Землі у значення цих постійних. Методика. Подання функції густини надр планети у вигляді суми многочленів Лежандра трьох змінних і апроксимація її поверхні еліпсоїдом, а також представлення внутрішніх кульових функцій у прямокутній системі координат, роблять можливим інтегрування виразів для стоксових постійних , , n k С n,k S та отримання співвідношення між цими величинами різних порядків і лінійною комбінацією коефіцієнтів розкладу pqs b потенціалу планети й геометричних параметрів еліпсоїда a,b,g . Числові дані, отримані за виведеними спів- відношеннями, і побудовані графіки дають можливість провести аналіз впливу неоднорідності розподілу мас надр планети еліпсоїдальної форми на значення стоксових постійних та визначити інтервали максимального впливу. Результати. Отримано загальні співвідношення між коефіцієнтами розкладу mnk b функції розподілу та інтегралами від кульових функцій по еліпсоїдальній поверхні, які визначають стоксові постійні заданого порядку. При цьому стоксові постійні -го порядку виражаються через величини Сn,k , Sn,k нижчих порядків. Проведені обчислення дають загальну картину формування значень стоксових постійних, з якої чітко випливає висновок про невеликий вплив еліпсоїдальної форми планети на їх величину та про тривимірність гравітаційного поля Землі як результату неоднорідного за всіма координатами розподілу мас її надр. Підтверджена залежність значень величини С2m,0 від геометричного стиснення двохосьового земного еліпсоїда постійної густини. Наукова новизна. Визначені формули зв’язку між стоксовими постійними різних порядків та лінійними комбінаціями параметрів еліпсоїда a ,b ,g . Проведені обчислення та перевірка отриманих співвідношень для різних наборів коефіцієнтів bpqs розкладу потенціалу дають можливість зробити висновок про переважний вклад тривимірності гравітаційного поля Землі в значення стоксових постійних, за винятком С2,0 , а побудовані графіки визначають інтервали її максимального вкладу в розподіл мас за глибиною. Практична значущість. Отримані залежності дозволяють перевіряти степінь наближення побудованої моделі густини еліпсоїдальної планети шляхом порівняння обчислених за нею та взятих зі спостережень стоксових постійних. Крім цього, з’являється можливість оптимального узгодження геометричних характеристик еліпсоїда планети з її гравітаційним полем.

Parameters of Earth’s gravitational field ( Сn,k , n,k S ) are determinated by its figure and internal filling (mass distribution) that have a different influence on their formation. Using a well-known representation of the planet masses distribution functions in the biorthogonal series form it is necessary to establish the Stokes constants , , n k С n,k S presentation through the planet potential expansion coefficients mnk b and liner combinations of ellipsoid geometric parameters. Based on these formulas, it is the objective to investigate the possible influence of the inhomogeneity of the mass distribution function of the Earth’s interior and the representation of its shape with an ellipsoid of rotation onto the values of the Stokes constants and to explore the contribution of the radial distribution of the Earth’s mass density to these constants. Methodology. The presentation of the planet's interior density function as a sum of the Legendre polynomials of three variables and the approximation of its surface by an ellipsoid, as well as the representation of internal spherical functions in a rectangular coordinate system, makes it possible to integrate expressions for Stokes constant , , n k С n,k S and obtain the relation between these values of different orders and the linear combination of the planet potential expansion coefficients pqs b and geometric parameters of ellipsoid a,b,g . Numerical data obtained from the derived relationships and the constructed graphs make it possible to analyze the influence of the inhomogeneity of the mass’s interior distribution of an ellipsoidal planet onto the value of the Stokes constants and determine the intervals of maximum impact. Results. The general relations between the expansion coefficients mnk b of the distribution function and the integrals from spherical functions on an ellipsoidal surface that determine Stokes constants of a definite order are established. Herewith Stokes constants of n order are expressed in terms of values n,k С , , . n k S of lower orders. The presented calculations give a procedure for the formation of Stokes constant values, which clearly implies the conclusion about the small effect of the planet’s ellipsoidal form on the magnitude and three-dimensionality of the Earth’s gravitational field as a result of the inhomogeneous of its interior masses distribution. Also known dependence of the values 2m,0 С on the geometric compression of the biaxial Earth ellipsoid of constant density is confirmed. Scientific novelty. The formulas for the relation between Stokes constants of different orders and linear combinations of parameters a,b,g are determined. The calculations and verification of the obtained relations for different sets of potential expansion coefficients pqs b allow us to conclude that the three-dimensional gravity field of the Earth predominantly contributes to the Stokes constants, except 2,0 С , and the constructed graphs determine its maximum contribution to the mass distribution in depth. Practical significance. The obtained dependences allow us to check the approximation degree of the constructed density model of ellipsoidal planet by comparing Stokes constants which are calculated using model and are obtained from the observations. In addition, it is possible to optimally reconcile the geometric characteristics of the planet’s ellipsoid with its gravitational field.
Дослідження впливу неоднорідності розподілу мас надр планети еліпсоїдальної форми на її стоксові постійні
Keywords: потенціал планети; модель розподілу мас; стоксові постійні; еліпсоїд; planet potential; masses distribution model; Stokes constant; ellipsoid; spherical function; 528.33; 551.24