Томографічне визначення параметрів матеріалу за граничними вимірюваннями квазістатичних полів

Abstract

Робота присвячена дослідженню методів математичного моделювання для електроімпедансної томографії (ЕІТ) — сучасної неінвазивної технології, що дозволяє визначати просторовий розподіл електричних параметрів матеріалу (зокрема, електропровідності) за граничними вимірюваннями квазістатичних полів. Такий підхід знаходить широке застосування в галузях медицини, промислової діагностики, енергетики, біоінженерії та систем неруйнівного контролю. Об’єктом дослідження є неоднорідні електропровідні середовища, а предметом — математичні моделі та чисельні методи розв’язання прямих і обернених граничних задач. Основна мета роботи полягає у побудові ефективної дискретної моделі для задач ЕІТ, яка дозволяє з високою точністю відновлювати електропровідність середовища на основі експериментальних або модельних даних. У перших розділах роботи проведено огляд теоретичних засад електроімпедансної та ємнісної томографії, досліджено фізичні принципи, що лежать в основі методів, і проаналізовано особливості формулювання обернених задач. Побудовано дискретну модель провідного середовища у вигляді резистивної мережі, яка дозволяє здійснити чисельну апроксимацію неперервного розподілу електричних параметрів. Особливу увагу приділено математичному обґрунтуванню задач: доведено коректність постановки, розглянуто граничні умови Діріхле та Неймана, встановлено умови однозначності та стабільності розв’язків. Наведено методи побудови матриці вимірювань і реалізації алгоритмів реконструкції для різних топологій мереж (квадратна, кругова, пірамідальна, прямокутна). У третьому розділі детально розглянуто методику дискретного моделювання оберненої задачі, включаючи формулювання задачі провідності, реалізацію алгоритмів реконструкції, оцінку впливу параметрів середовища, топології електродів і рівня шуму на результати візуалізації. Розроблено програмне забезпечення, яке дозволяє моделювати досліджуване середовище, задавати конфігурацію електродів, розв’язувати як пряму, так і обернену задачу, а також виводити результати у числовій та графічній формі (у вигляді кольорових карт розподілу провідності). Програму протестовано на низці модельних прикладів, що продемонструвало її точність і стійкість. Четвертий розділ присвячено економічному обґрунтуванню запропонованого підходу. Проведено оцінку витрат на виконання науково-дослідної роботи, розраховано економічну ефективність, прогнозований прибуток і доцільність впровадження в реальні системи технічної діагностики. Результати дослідження можуть бути застосовані в медичних діагностичних системах, системах неруйнівного контролю матеріалів, у навчальному процесі з дисциплін математичного моделювання, електромагнетизму та чисельних методів. Робота має як теоретичну, так і практичну значущість. Об’єкт дослідження – неоднорідні провідні середовища. Предмет дослідження – математичні моделі та чисельні методи розв’язання обернених задач електроімпедансної томографії. Мета роботи – розробка та реалізація дискретної моделі реконструкції електропровідності за граничними вимірюваннями.This master's thesis is devoted to the study of mathematical modeling methods for Electrical Impedance Tomography (EIT) — a modern non-invasive imaging technique that enables the reconstruction of spatial distributions of electrical properties (primarily conductivity) in materials based on boundary measurements of quasi-static electromagnetic fields. Such approaches are gaining increasing relevance in medicine, industrial diagnostics, energy systems, bioengineering, and non-destructive testing due to their ability to visualize internal structures without damaging the investigated object. The object of the study is inhomogeneous conductive media, while the subject is mathematical models and numerical methods for solving forward and inverse boundary value problems related to EIT. The main goal of the research is to develop an effective discretized model that ensures high-accuracy reconstruction of conductivity distributions using either experimental or simulated boundary data. The first sections of the thesis provide a detailed overview of the theoretical foundations of impedance and capacitive tomography. Physical principles are examined alongside formulation of inverse problems and analysis of the limitations and potentials of using quasi-static fields. A key focus is placed on transforming the continuous medium into a discrete resistor network model, which enables practical implementation through numerical computations. Mathematical correctness of the forward and inverse problems is rigorously proven. Boundary conditions of Dirichlet and Neumann types are considered, and conditions for uniqueness, stability, and sensitivity to measurement noise are discussed. The work presents algorithms for constructing the measurement matrix and reconstructing conductivity for several network topologies (e.g., square, circular, pyramidal, and rectangular). The third chapter focuses on numerical modeling and solution of the inverse problem using discrete resistor networks. The influence of measurement configuration, noise level, and spatial parameters on the accuracy of reconstruction is examined in detail. Several reconstruction techniques are implemented and compared. A dedicated software package was developed to support practical implementation. This tool enables users to define electrode configurations, simulate the medium, solve both the forward and inverse problems numerically, and visualize the results as color maps representing spatial conductivity distributions. The software was tested on a variety of model cases with known conductivity patterns, which allowed for a quantitative evaluation of reconstruction accuracy and algorithm robustness. The fourth chapter presents the economic analysis of the developed approach. The costs of the research and software development are estimated, along with the projected benefits of implementation in technical diagnostics systems. The results of the research hold both theoretical and practical value. Theoretically, the work contributes to a deeper understanding of inverse boundary problems in EIT. Practically, the developed methods and software can serve as a foundation for applied EIT systems in medical diagnostics (e.g., lung ventilation monitoring), industrial material testing, or as educational tools in physics-based simulation and inverse problem courses. Object of study – inhomogeneous conductive media. Subject of study – mathematical models and numerical methods for solving inverse problems in EIT. Research goal – development and implementation of a discrete model for conductivity reconstruction based on boundary measurements.