Browsing by Author "Бридун, Андрій"

Now showing 1 - 4 of 4

Algorithm for constructing the subsoil density distribution function considering its value on the surface
(Видавництво Львівської політехніки, 2023-02-28) Фис, Михайло; Бридун, Андрій; Вовк, Андрій; Fys, M.; Brydun, A.; Vovk, A.; Національний університет “Львівська політехніка”; Lviv Polytechnic National University
На відміну від широко вживаного ітераційного методу побудови тривимірного розподілу мас Землі, що використовує поетапно стоксові постійні до встановленого порядку, в роботі запропонований алгоритм одночасного їх урахування. Функція розподілу мас надр планети подається сумою многочленів трьох змінних, коефіцієнти розкладу якої визначаються з системи рівнянь. Ця система одержується диференціюванням функції Лагранжа, яка будується з урахуванням мінімального відхилення тривимірного розподілу мас надр планети від референтного одновимірного. Додатковою умовою, крім урахування стоксових постійних, для однозначного розв’язання задачі є задання значення функції на поверхні еліпсоїдальної планети. Кліткова структура матриці системи дає можливість апроксимації високих порядків та можливість збільшити його у вісім разів, що є наслідком групування стоксових постійних, а отриманий зв'язок між індексами величин сумування в ряд розкладу та їх одновимірними аналогами в системі лінійних рівнянь дає можливість просто реалізовувати процес обчислень. Подається контрольний приклад, що ілюструє ефективність застосування наведеного алгоритму. При його реалізації береться спрощений варіант задання густини на поверхні океану, що приймається за одиницю. В подальшому планується використати одну з моделей густини земної кори та провести чисельне інтегрування поверхневих інтегралів для більш повного відображення реальності Результати обчислень узгоджуються з дослідженнями, проведеними за допомогою інших методів, наприклад, методів сейсмічної томографії, що підтверджує доцільність такого підходу та необхідність розширення даної методики та, можливо, долученням інших умов для однозначного розв’язування оберненої задачі теорії потенціалу. Мета. Створити та реалізувати алгоритм, який враховує значення густини надр планети на її поверхні. Методика. Функція розподілу мас надр планети подається за допомогою розкладу в біортогональні ряди, коефіцієнти розкладу якого визначаються з системи лінійних рівнянь. Система рівнянь отримується з умови мінімізації функції відхилення шуканого розподілу мас від початково визначеного двовимірного розподілу густини (референцна модель PREM). Результати. На основі описаного алгоритму отримана тримірна модель густин розподілу мас надр в середині Землі, що враховує стоксові постійні до восьмого порядку включно та відповідає поверхневому розподілу мас океанічної моделі Землі, а також подано її стислу інтерпретацію.
Investigation of the asymmetry of the Earth's gravitational field using the representation of potentials of disks
(Видавництво Львівської політехніки, 2028-02-22) Фис, Михайло; Бридун, Андрій; Юрків, Мар`яна; Согор, Андрій; Губар, Юрій; Fys, Mykhailo; Brydun, Andrii; Yurkiv, Mariana; Sohor, Andrii; Hubar, Yurii; Національний університет “Львівська політехніка”; Lviv Polytechnic National University
У роботі розглянуто подання зовнішнього гравітаційного поля Землі, які доповнюють його традиційну апроксимацію рядами за кульовими функціями. Необхідність додаткових засобів опису зовнішнього потенціалу продиктована потребою його вивчення та використання в точках простору, що є близькими до поверхні Землі. Саме в таких областях виникає потреба дослідження збіжності рядів за кульовими функціями та адекватного визначення значення потенціалу. Представлення зовнішнього гравітаційного поля Землі інтегралами простого та подвійного прошарку із залученням апарату апроксимації кусково-неперервної функції в середині еліпса дає змогу розширити для рядів, що подають потенціал, область збіжності до всього простору поза еліпсом інтегрування. Тому, як результат, значення гравітаційного потенціалу збігається зі значеннями цих рядів поза тілом, що містить маси надр (крім еліпса інтегрування). Це дає можливість оцінювати поведінку гравітаційного поля в приповерхневих областях та виконувати з більшою достовірністю дослідження геодинамічних процесів. Апроксимація гравітаційного поля за допомогою поверхневих інтегралів окреслює також геофізичний аспект задачі. Адже під час її розв’язання здійснюється побудова двовимірних підінтегральних функцій, що однозначно визначаються набором стоксових сталих. При цьому коефіцієнти їх розкладів у ряди визначаються за лінійними комбінаціями степеневих моментів їх функцій. Отримані розклади функцій можуть бути використані для дослідження особливостей зовнішнього гравітаційного поля, наприклад, вивчення його асиметрії відносно екваторіальної площини.
The gradient construction approach analysis of the threedimensional mass distribution function of the ellipsoidal planet
(Видавництво Львівської політехніки, 2021-02-23) Фис, Михайло; Бридун, Андрій; Юрків, Мар`яна; Согор, Андрій; Губар, Юрій; Fys, Mykhailo; Brydun, Andrii; Yurkiv, Mariana; Sohor, Andrii; Hubar, Yurii; Національний університет “Львівська політехніка”; Lviv Polytechnic National University
Мета роботи – дослідити особливості реалізації алгоритму знаходження похідних просторової функції розподілу мас планети із залученням стоксових сталих високих порядків та на основі цього знайти її аналітичний вираз; за наведеною методикою виконати обчислення, за допомогою яких вивчити динамічні явища, що відбуваються всередині еліпсоїдальної планети. Запропонований метод передбачає визначення похідних функції розподілу мас сумою, коефіцієнти якої отримують із системи рівнянь, що є некоректною. Для її розв’язування використано стійкий до похибок метод обчислення невідомих. Побудову реалізовано ітераційним способом, а за початкове наближення взято тривимірну функцію густини мас Землі, побудовану за стоксовими сталими до другого порядку включно, із динамічним стисненням одновимірним розподілом густини. Визначено коефіцієнти розкладу похідних функції за змінними x, y, z до третього порядку включно. Згідно із ними встановлено відповідну функцію густини, яку надалі взято за початкову. Процес повторювали до досягнення заданого порядку апроксимації. Для отримання стійкого результату використано метод підсумування Чезаро (метод середніх). Виконано розрахунки за допомогою програм, що реалізують наведений алгоритм, й досягнуто високий (дев’ятий) порядок отримання членів суми обчислень. Виконано дослідження збіжності суми ряду та на цій основі зроблено висновок про доцільність використання узагальненого знаходження сум на основі методу Чезаро. Вибрано оптимальну кількість утримання членів суми, що забезпечує збіжність як для функції розподілу мас, так і для її похідних. Виконано обчислення відхилень розподілу мас від середнього значення (“неоднорідностей”) для екстремальних точок земного геоїда, які загалом свідчать про сумарну компенсацію вздовж радіуса Землі. Для таких тривимірних розподілів виконано обчислення та побудовано картосхеми за врахованими значеннями відхилень тривимірних розподілів від середнього (“неоднорідностей”) на різних глибинах, які відображають загальну структуру внутрішньої будови Землі. Наведені вектор-схеми горизонтальних компонент градієнта густини на характерних глибинах (2891 км – ядро–мантія, 700 км – середина мантії, також верхня мантія – 200, 100 км) дають підстави зробити попередні висновки про глобальні переміщення мас. На межі “ядро–мантія” спостерігається замкнений контур, що є аналогією замкненого електричного кола. Для менших глибин вже відбувається диференціація векторних рухів, що дає підстави для залучення цих векторграм до дослідження динамічних рухів всередині Землі. По суті, вертикальна компонента (похідна за змінною z) спрямована до центра мас та підтверджує основну властивість розподілів мас – зростання із наближенням до центра мас. Застосовано методику стійкого розв’язування некоректних лінійних систем, за допомогою якої побудовано векторграми градієнта функції розподілу мас. Характер таких схем дає інструмент для виявлення можливих причин перерозподілу мас всередині планети та можливих чинників тектонічних процесів усередині Землі, тобто опосередковано підтверджується гравітаційна конвекція мас. Запропоновану методику можна використовувати для створення детальних моделей функцій густини та її характеристик (похідних) мас надр планети, а результати числових експериментів – для розв’язання задач тектоніки.
Використання інструментів пакету MATLAB при інтерпретації аномалій густини мас земних надр
(Видавництво Львівської політехніки, 2019-10-03) Фис, Михайло; Бридун, Андрій; Юрків, Мар’яна; Согор, Андрій; Fys, Mykhailo; Brydun, Andrii; Yurkiv, Maryana; Soho, Andrii; Національний університет “Львівська політехніка”; Lviv Polytechnic National University
Розрахунок аномалій проводиться за масою розподілу маси в середині Землі. На основі цих розрахунків будуються карти та просторові зображення цих величин. Показані переваги та недоліки кожного з представлених зображень. Більше того, для інтерфейсу використовувались векторні подання компонентів похідних функцій, що дозволяє проаналізувати їх взаємодію.