Algorithm for constructing the subsoil density distribution function considering its value on the surface
Date
2023-02-28
Journal Title
Journal ISSN
Volume Title
Publisher
Видавництво Львівської політехніки
Lviv Politechnic Publishing House
Lviv Politechnic Publishing House
Abstract
На відміну від широко вживаного ітераційного методу побудови тривимірного розподілу мас Землі, що використовує поетапно стоксові постійні до встановленого порядку, в роботі запропонований алгоритм одночасного їх урахування. Функція розподілу мас надр планети подається сумою многочленів трьох змінних, коефіцієнти розкладу якої визначаються з системи рівнянь. Ця система одержується диференціюванням функції Лагранжа, яка будується з урахуванням мінімального відхилення тривимірного розподілу мас надр планети від референтного одновимірного. Додатковою умовою, крім урахування стоксових постійних, для однозначного розв’язання задачі є задання значення функції на поверхні еліпсоїдальної планети. Кліткова структура матриці системи дає можливість апроксимації високих порядків та можливість збільшити його у вісім разів, що є наслідком групування стоксових постійних, а отриманий зв'язок між індексами величин сумування в ряд розкладу та їх одновимірними аналогами в системі лінійних рівнянь дає можливість просто реалізовувати процес обчислень. Подається контрольний приклад, що ілюструє ефективність застосування наведеного алгоритму. При його реалізації береться спрощений варіант задання густини на поверхні океану, що приймається за одиницю. В подальшому планується використати одну з моделей густини земної кори та провести чисельне інтегрування поверхневих інтегралів для більш повного відображення реальності Результати обчислень узгоджуються з дослідженнями, проведеними за допомогою інших методів, наприклад, методів сейсмічної томографії, що підтверджує доцільність такого підходу та необхідність розширення даної методики та, можливо, долученням інших умов для однозначного розв’язування оберненої задачі теорії потенціалу. Мета. Створити та реалізувати алгоритм, який враховує значення густини надр планети на її поверхні. Методика. Функція розподілу мас надр планети подається за допомогою розкладу в біортогональні ряди, коефіцієнти розкладу якого визначаються з системи лінійних рівнянь. Система рівнянь отримується з умови мінімізації функції відхилення шуканого розподілу мас від початково визначеного двовимірного розподілу густини (референцна модель PREM). Результати. На основі описаного алгоритму отримана тримірна модель густин розподілу мас надр в середині Землі, що враховує стоксові постійні до восьмого порядку включно та відповідає поверхневому розподілу мас океанічної моделі Землі, а також подано її стислу інтерпретацію.
The conventional approach to constructing a three-dimensional distribution of the Earth's masses involves using Stokes constants incrementally up to a certain order. However, this study proposes an algorithm that simultaneously considers all of these constants, which could potentially provide a more efficient method. The basis for this is a system of equations obtained by differentiating the Lagrange function, which takes into account the minimum deviation of the three-dimensional mass distribution of the planet's subsoil from one-dimensional referential one. An additional condition, apart from taking into account the Stokes constants, for an unambiguous solution to the problem is to specify the value of the function on the surface of the ellipsoidal planet. It is possible to simplify the calculation process by connecting the indices of summation values in a series of expansions to their one-dimensional analogues in the system of linear equations. The study presents a control example illustrating the application of the given algorithm. In its implementation, a simplified variant of setting the density on the surface of the ocean is taken. The preliminary results of calculations confirm the expediency of this approach and the need to expand such a technique with other conditions for unambiguously solving the inverse problem of potential theory. Objectives. To create and implement the algorithm that takes into account the density of the planet’s subsoil on its surface. Method. The mass distribution function of the planet's subsoil is represented by a decomposition into biorthogonal series, the coefficients of decomposition which are determined from a system of linear equations. The system of equations is obtained from the condition of minimizing the deviation function of the desired mass distribution from the initially determined two-dimensional density distribution (PREM reference model). Results. On the basis of the described algorithm, a three-dimensional model of the density distribution of subsoil masses in the middle of the Earth is obtained, which takes into account Stokes constants up to the eighth order inclusively and corresponds to the surface distribution of masses of the oceanic model of the Earth. Its concise interpretation is also presented.
The conventional approach to constructing a three-dimensional distribution of the Earth's masses involves using Stokes constants incrementally up to a certain order. However, this study proposes an algorithm that simultaneously considers all of these constants, which could potentially provide a more efficient method. The basis for this is a system of equations obtained by differentiating the Lagrange function, which takes into account the minimum deviation of the three-dimensional mass distribution of the planet's subsoil from one-dimensional referential one. An additional condition, apart from taking into account the Stokes constants, for an unambiguous solution to the problem is to specify the value of the function on the surface of the ellipsoidal planet. It is possible to simplify the calculation process by connecting the indices of summation values in a series of expansions to their one-dimensional analogues in the system of linear equations. The study presents a control example illustrating the application of the given algorithm. In its implementation, a simplified variant of setting the density on the surface of the ocean is taken. The preliminary results of calculations confirm the expediency of this approach and the need to expand such a technique with other conditions for unambiguously solving the inverse problem of potential theory. Objectives. To create and implement the algorithm that takes into account the density of the planet’s subsoil on its surface. Method. The mass distribution function of the planet's subsoil is represented by a decomposition into biorthogonal series, the coefficients of decomposition which are determined from a system of linear equations. The system of equations is obtained from the condition of minimizing the deviation function of the desired mass distribution from the initially determined two-dimensional density distribution (PREM reference model). Results. On the basis of the described algorithm, a three-dimensional model of the density distribution of subsoil masses in the middle of the Earth is obtained, which takes into account Stokes constants up to the eighth order inclusively and corresponds to the surface distribution of masses of the oceanic model of the Earth. Its concise interpretation is also presented.
Description
Keywords
функція розподілу, Земля, стоксові сталі, функція Лагранжа, distribution function, Earth, Stokes constants, Lagrange function
Citation
Fys M. Algorithm for constructing the subsoil density distribution function considering its value on the surface / M. Fys, A. Brydun, A. Vovk // Geodynamics. — Lviv : Lviv Politechnic Publishing House, 2023. — No 2 (35). — P. 72–79.