Influence of the Numerical Method Sampling on the Digital Pid-Controller Behavior

Abstract

Сучасні цифрові системи керування дають змогу реалізовувати достатньо складні закони регулювання, складність яких обмежується можливостями апаратної частини, наявним програмним забезпеченням і закладеним алгоритмом регулювання. Важливою складовою такого алгоритму є застосований числовий метод, який дає змогу дискретизувати закон керування на підставі неперервного прототипу. Прикладом такого застосування є класичний ПІД-регулятор, який став базою для розробки цифрових аналогів. У такому регуляторі здійснюються дві математичні операції: інтегрування та диференціювання, які в цифровій системі отримують дискретні еквіваленти у вигляді відповідних рекурентних рівнянь. У статті розглянуто цифровий ПІД-регулятор як цифровий фільтр, що з використанням апарату частотних характеристик дало змогу визначити найбільш “вузьке” його місце – високочастотну область, за яку відповідає саме диференціююча частина регулятора. Це дало змогу зосередити основну увагу досліджень на практичній реалізації диференціюючої частини цифрового ПІД-регулятора. Показано, що традиційний спосіб виконання операції диференціювання простим методом скінчених різниць має низку недоліків, які роблять його практично непрацездатним, що й проілюстровано відповідними графіками. Для усунення недоліків традиційної операції диференціювання методом скінчених різниць запропоновано два варіанти структурних схем реального диференціатора. Перший варіант реального диференціатора пропоновано будувати за структурною схемою з інтегратором у зворотному зв'язку. Другий варіант реального диференціатора запропоновано здійснити за структурною схемою з паралельним з’єднанням пропорційного блока та ланки першого порядку. Для виконання дискретизації запропоноване застосування з умов фізичної реалізації явних числових інтеграторів Адамса від першого до четвертого порядків. Для вказаних структурних схем проведено дослідження як їхніх частотних характеристик, так і їх поведінки на зашумленому сигналі. Усі дослідження в статті проведено з використанням бібліотеки Control System Toolbox математичного застосунку MATLAB. Показано, що використання пропонованих способів реального диференціювання дає змогу простої та працездатної реалізації цифрових ПІД-регуляторів.

Modern digital control systems make it possible to implement quite complex control strategy, the complexity of which is limited by the hardware capabilities, the available software and the implemented control algorithm. An important component of such an algorithm is the numerical method, which allows to discretize the control rule on the basis of a continuous prototype. Such application example is the classic PID controller, which has become the basis for the development of digital control systems. Two mathematical operations are performed in such a controller: integration and differentiation, which in a digital system obtain discrete equivalents in the corresponding recurrent equations form. The article considers a digital PID controller as a digital filter, which with the use of the frequency characteristics (Bode diagrams) allowed to determine its most "narrow" place – the high-frequency diagram region that correspond to the differentiating part of the controller. This made it possible to focus the research on the practical implementation of the differential part of the digital PID controller. It is shown that the traditional way of the differential operation performing by the simple method of finite differences has some of disadvantages that make it fundamentally impracticable, as illustrated by the corresponding graphs. To eliminate the limitations of the traditional differential operation by the finite difference method, two variants of structural schemes of a real differentiator are proposed. The first variant of the real differentiator proposed to build on the structural scheme in feedback with the integrator. The second variant of the real differentiator is proposed to build according to the structural scheme with a parallel connection of the proportional and the first order blocks. The application of explicit numerical Adams integrators (also known as Adams-Bashforth rule) from the first to the fourth order under the conditions of physical realization is proposed to perform sampling. A study of both their frequency characteristics and their behavior performed on a noisy signal for these structural schemes. All research in the article was conducted using the Control System Toolbox library of the mathematical application MATLAB. It is shown that the use of the proposed real differentiation methods allows simple and efficient implementation of digital PID controllers.