Математичне моделювання та аналіз температурних режимів у елементах електронних пристроїв з локальним зовнішнім нагріванням та із урахуванням термочутливості

Abstract

Розроблено лінійну та нелінійну математичні моделі визначення температурного поля, а відтак і аналізу температурних режимів у ізотропних просторових середовищах, які зазнають зовнішнього локального теплового навантаження. Для нелінійної крайової задачі застосовано перетворення Кірхгофа, із використанням якого лінеаризовано нелінійне рівняння теплопровідності та нелінійні крайові умови, у результаті отримано лінеаризоване диференціальне рівняння другого порядку з частковими похідними та розривною правою частиною і частково лінеаризовані крайові умови. Для остаточної лінеаризації частково лінеаризованих крайових умов виконано апроксимацію температури за просторовою координатою на межовій поверхні термочутливого середовища кусковосталою функцією, що дало змогу одержати лінійну крайову задачу відносно перетворення Кірхгофа. Для розв’язування лінійної крайової задачі, а також отриманої лінеаризованої крайової задачі використано метод інтегрального перетворення Фур’є, одержано аналітичні розв’язки цих задач. Для термочутливого середовища, як приклад, вибрано лінійну залежність коефіцієнта теплопровідності конструкційного матеріалу структури від температури, яку часто використовують у багатьох практичних задачах. У результаті отримано аналітичний розв’язок у вигляді невласного інтеграла для визначення розподілу температури в цьому середовищі. Виконано числовий аналіз поведінки температури як функції просторових координат для заданих значень геометричних і теплофізичних параметрів. Для визначення числових значень температури в наведеній конструкції, а також аналізу теплообмінних процесів, зумовлених локально зосередженим тепловим потоком, розроблено програмні засоби, із використанням яких виконано геометричне зображення розподілу температури залежно від просторових координат. Розроблені лінійна та нелінійна математичні моделі визначення температурного поля у просторових середовищах із зовнішнім нагріванням свідчать про їх адекватність реальному фізичному процесу. Вони дають змогу аналізувати термостійкість таких середовищ. Як наслідок, уможливлюється її підвищення і захист від перегрівання, яке може спричинити вихід із ладу не тільки окремих вузлів та їх окремих елементів, а й всієї конструкції.

The linear and nonlinear mathematical models for determining the temperature field and subsequently analyzing temperature regimes in isotropic spatial media subjected to external local thermal load are developed. In the case of a nonlinear boundary value problem, the Kirchhoff transform is applied to linearize the nonlinear heat conduction equation and nonlinear boundary conditions, resulting in a linearized second-order partial differential equation with a discontinuous right-hand side and partially linearized boundary conditions. For the final linearization of the partially linearized boundary conditions, the temperature was approximated by the spatial coordinate on the boundary surface of the heat-sensitive medium by a piecewise constant function, which made it possible to obtain a linear boundary value problem with respect to the Kirchhoff transform. The method of the integral Fourier transform was used to solve the linear boundary value problem and the resulting linearized boundary value problem, which resulted in the analytical solutions of these problems. For a thermosensitive medium, as an example, the linear dependence of the thermal conductivity of the structural material of a structure on temperature, which is often used in many practical problems, is chosen. As a result, an analytical solution in the form of a non-proprietary integral is obtained to determine the temperature distribution in this medium. A numerical analysis of the temperature behavior as a function of spatial coordinates for given values of geometric and thermophysical parameters is performed. To determine the numerical values of the temperature in the above structure, as well as to analyze the heat transfer processes caused by locally concentrated heat flux, software tools have been developed that have been used to perform a geometric representation of the temperature distribution depending on the spatial coordinates. The developed linear and nonlinear mathematical models for determining the temperature field in spatial environments with external heating show that they are adequate to the real physical process. They make it possible to analyze such environments in terms of their thermal stability. As a result, it becomes possible to increase it and protect against overheating, which can cause failure not only of individual components and their individual elements, but also of the entire structure.