Синґулярні проблеми в задачах електрики і механіки за ідеалізації математичного опису

Abstract

Показано можливі небезпеки ідеалізації під час побудови математичних образів фізичних об’єктів чи систем. Вони можуть бути прийнятні, приховані, або навіть такі, що сягають синґулярности, а то й нереальні. Це розкрито на п’ятьох практичних задачах електрики і механіки. Зокрема, йдеться про електричні кола, що містять EJ-вироджені перетини й контури, утворені виключно ідеальними джерелами струму і ЕРС, про обертову синґулярність за ідеальної пружности, про гармонічний електричний резонанс, про зовнішню характеристику серієсного ґенератора постійного струму за ідеального феромаґнетизму, про сиґулярність і парадокс 4/3 електрона. Повна система рівнянь електричного кола завше містить кількість рівнянь, що дорівнює кількості невідомих. Але якщо є перетини, утворені виключно ідеальними джерелами струму j, або контури, утворені виключно ідеальними джерелами напруги e, то вона стає недовизначеною, бо рівняння, складені за законами Кірхгофа для таких перетинів і контурів (надалі називатимемо їх EJ-виродженими), не містять невідомих, хоч самі закони повинні суворо дотримуватись. Такі задачі доволі часто виникають на практиці: достатньо назвати трифазне коло, ідеальні джерела напруги якого з’єднано трикутником, або ідеальні джерела струму – у зірку. Але найчастіше EJ- виродження виникають у задачах аналізу радіоелектронних кіл. Наукові пошуки часто натрапляють на практичні задачі, розв’язки яких надто спрощуються за умов тієї чи иншої локальної ідеалізації, а то й неможливі без неї. Тому треба відповідально ставитися до аналізу одержаних результатів у кожному конкретному випадку. Задачі на синґулярність були розглянуті лише в тому розумінні, аби загострити проблему. Будь-який математичний образ реального фізичного процесу здійснюється за тих чи инших лоґічних припущень, зокрема й ідеалізації. Але ідеалізацією треба користуватися розсудливо, бо вона може призводити до разючих спотворень істини, у граничних випадках навіть до синґулярности, як показано нижче, а інколи до малопомітних, а тому найпідступніших.The possible dangers of idealization in the process of constructing mathematical images of physical objects or systems are shown. The above is revealed on five practical problems of electricity and mechanics. They may be acceptable, hidden, or even such as reaching singularities, or even unreal. It is revealed on five practical problems of electricians andmechanics. In particular, it is a question of electric circuits containing EJ-degenerate sections and circuits formed solely by ideal current sources and EMFs, rotational singularity for ideal elasticity, harmonic electrical resonance, external characteristic of a serial steady state generator for the ideal ferromagnetism, the singularity and the paradox of 4/3 electrons. The complete system of equations of the electric circle always contains the number of equations equal to the number of unknowns. But if there are sections formed solely by the ideal sources of current j or contours formed entirely by the ideal sources of the voltage e, then it becomes undefined, since the equations, compiled according to Kirchhoff's laws for such intersections and contours (further called themEJ-degenerate) do not contain unknowns , although the laws themselves must be strictly adhered to. Similar problems often occur in practice: enough to call the three-phase circle, the ideal voltage sources of which are connected by a triangle, or ideal sources of current – in the star. But most often EJdegeneration arises in the tasks of analysis of radio-electronic circles. Scientific research often encounters practical problems whose solutions are simplified toomuch under the conditions of one or another local idealization, or even impossible without it. Therefore, one must be responsible to analyze the results obtained in each case. The problems of singularity were considered only in the sense of exacerbating the problem. Any mathematical image of a real physical process is carried out under one or another logical assumptions, including idealization. But idealization should use the discretion of .