Application of the zeros and poles matched method for modeling of electrical systems

Abstract

Поширення математичних застосунків, які надають засоби розв’язування диференціальних рівнянь, і збільшення швидкодії обчислювальних пристроїв призвели до зменшення зацікавленості операторними методами, зокрема z-перетворенням. Проте використання можливостей z-перетворення дає змогу реалізувати ефективні швидкодіючі обчислювальні схеми із високою числовою стійкістю. Потреба в цьому може виникнути у випадку моделювання в реальному часі чи під час синтезу цифрових систем керування. На підставі аналізу літературних джерел показано актуальність і переваги використання z-перетворення для моделювання динаміки електротехнічних систем. Розглянуто спосіб комп’ютерного моделювання, основою якого є використання для побудови комп’ютерної моделі методу відображення (відповідності) нулів і полюсів еквівалентної неперервної передавальної функції. Показано реалізацію отриманих цим методом моделювальних рекурентних формул для трьох елементарних динамічних ланок, які одержують внаслідок розкладу передавальної функції за теоремою розкладу Гевісайда: інтегральної (нульовий полюс), інерційної першого порядку (дійсний полюс) і ланки другого порядку із дійсним нулем і парою комплексно спряжених полюсів. Отже, реалізована паралельна декомпозиція досліджуваної системи, що дає змогу зменшити негативний вплив обмеженої розрядності системи і полегшити виконання паралельних обчислень. Для кожної такої ланки одержано дискретну передавальну функцію та моделювальне рекурентне рівняння. На двох прикладах продемонстровано практичне використання та переваги цього способу: проста пружна механічна система, яка описана диференціальним рівнянням другого порядку, та нелінійна модель асинхронної машини за однофазною Т-подібною заступною схемою. Обидві задачі проілюстровані прикладами розв’язування у середовищі математичного застосунку Mathcad. Підтверджено ефективність методу відповідності нулів і полюсів порівняно з класичними числовими методами розв’язування звичайних диференціальних рівнянь. Використання цього способу математичного моделювання дає змогу забезпечити стійкий числовий розв’язок із заданою точністю для широкого діапазону кроків розв’язування.

The widespread use of mathematical applications, which include differential equations solvers, and the increase in the speed of computing devices have led to a decrease in interest in operator methods, in particular, the z-transform. Nevertheless, the use of the z-transform capabilities allows the implementation of efficient high-speed computing schemes with high numerical stability. The need for this may arise in the case of real-time simulation or the synthesis of digital control systems. Based on the analysis of literary sources, the relevance and advantages of using the z-transform for modeling the dynamics of electrical engineering systems are shown. The method of computer modeling is considered, the basis of which is the use of the method of matching zeros and poles of an equivalent continuous transfer function to build a computer model. The process of implementing the modeling recurrent formulas obtained by this method is shown for three elementary dynamic blocks, which are obtained as a result of the expansion of the transfer function according to the Heaviside residue theorem: integral (zero pole), first-order inertial (real pole) and second-order blocks with a real zero and by a pair of complex-conjugated poles. In this way, the parallel decomposition of the researched system is implemented, which makes it possible to reduce the negative impact of the limited bit precision of the system and facilitate the execution of parallel calculations. A discrete transfer function and a simulation recurrent equation were obtained for each such block. The practical use and advantages of this method are shown on two examples: a simple elastic joint mechanical system, which is described by a second-order differential equation, and a nonlinear model of an asynchronous machine based on a single-phase T-shaped equivalent circuit. Both problems are illustrated by examples of solutions in the environment of the Mathcad mathematical application. The effectiveness of the zeros and poles matched method of compared to classical numerical methods for solving ordinary differential equations is shown. The use of this method of mathematical modeling makes it possible to provide a stable numerical solution with a specified accuracy for a wide range of solution steps.