Investigation of formulas determination of a point’s plane coordinates by the invers linear-angular resection

Abstract

Мета – виконати дослідження формул для визначення плоских координат точки методом оберненої лінійно-кутової засічки. У роботах [Vivat 2018, Novakovic 2009, Lienhart 2017, Erol 2010, Litynskyi 2014, Litynskyi 2015, Gargula 2009, Litynskyi 2019] досліджено можливість використання електронних тахеометрів для контролю геометричних параметрів промислових будівель. Розглянуто методи контролю електронних тахеометрів та лазерних сканерів на відповідність міжнародним стандартам метрологічних параметрів ISO. Досліджено прикладне застосування електронних тахеометрів для високоточних вимірювань та оптимізацію геодезичних мереж, які створюють для вимірювань витягнутих споруд. Аналітично доведено та виведено формулу для оптимального розміщення приладу з певними характеристиками точності відносно вимірюваного базиса, виконано вимірювання на базисі ІІ розряду та підтверджено теоретичні розрахунки. Показано можливість досягнення вищої точності визначення відрізка методом лінійно-кутових вимірювань. Досліджено вплив величини кута на точність визначення координат за теоремою синусів та досліджено можливість оптимізації визначення координат методом оберненої лінійно-кутової засічки за формули косинусів та синусів. Методика. Встановлення математичного зв’язку вимірюваних величин (віддалей та кутів) із шуканими (плоскими координатами точки), диференціюванням та знаходженням мінімумів функцій. Результати. Приведено п’ять формул, з яких створено шість комбінацій для обчислення приростів координат та оцінки їхньої точності. Числові експерименти показують, що значної переваги жоден з методів не має, що підтверджується результатами, поданими на графіках та таблицях. Варто виокремити одну особливість другого методу, за яким є можливість визначити прирости координат з точністю, що перевищує точність вимірювання довжин сторін. Розглянута можливість оптимізації визначення приростів координат за рахунок вірогідного вибору формул обчислень. Досліджено можливість підвищення точності визначення приростів координат, використовуючи різні формули обчислень. Запропоновано оптимізацію вибору формул обчислень залежно від положення шуканої точки. Результати поданих досліджень можна використати у створенні прикладного програмного забезпечення електронного тахеометра чи лазерного трекера для підвищення точності визначення координат.

The aim. The study of formulas determination of the point coordinates by the inverse linear-angular intersection method. Previously, we investigated the possibility of using electronic total stations to control the geometric parameters of industrial buildings. The applied application of electronic total stations for high-precision measurements has been investigated as well. [Vivat, 2018]. The formula for optimal use of the device with certain accuracy characteristics relative to the measured basis is analytically proved and derived [Litynskyi, 2014]. Measurements on the basis of the II category are performed and theoretical calculations are confirmed. The possibility of achieving high accuracy in determining the segment by the method of linear-angular measurements is shown [Litynsky, 2015]. The influence of the angle value on the accuracy of determining the coordinates by the sine theorem is investigated and the possibility of optimizing the determination of coordinates by the method of inverse linear-angular serif by the formulas of cosines and sines is investigated [Litynskyi, 2019]. Method. Establishing a mathematical interconnection between measured values (distances and angles) with the required (flat coordinates of a point), differentiation and finding the minima of functions. Results.There were five formulas selected, of which six combinations had been created to calculate the increments of coordinates and to estimate their accuracy. Numerical experiments show that neither method has a significant advantage, which is supported by the results presented in the graphs and tables. It is worth noting one feature of the second method - in which it is possible to determine the increments of coordinates with an accuracy that exceeds the accuracy of measuring the sides. The possibility of optimizing the coordinate increments determination due to the choice of calculation formulas is considered. The possibility of increasing the accuracy of determination of the coordinates increments using different calculation formulas is researched. Consequently, it is suggested to optimize the choice of calculation formulas depending on the position of the desired point. The results of these studies can be used to create electronic total station or laser tracker application software in order to improve the accuracy of coordinate determination.