Method for approximate construction of three-dimensional mass distribution function and gradient of an elipsoidal planet based on external gravitational field parameters

Abstract

Дослідити методику побудови тривимірної функції розподілу мас надр усередині Землі та її похідних, узгоджену з параметрами гравітаційного поля планети до четвертого порядку включно. За побудованою таким способом функцією розподілу мас зробити інтерпретацію особливостей внутрішньої будови еліпсоїдальної планети. Методика. На основі створеного початкового наближення функції, яке включає референцну модель густини, вибудовуються подальші уточнення. Використовуючи стоксові постійні до другого порядку включно, подаємо наступне наближення, яке надалі приймаємо як нульове. При цьому використання стоксових постійних до четвертого порядку включно приводить до розв’язування систем рівнянь. Встановлено, що долучення однієї тотожності приводить до однозначності розв’язку. Винятком є одна система зі стоксовими постійними c40 ,c42 ,c44. Зауважимо, що процес обчислень є контрольованим, оскільки степеневі моменти похідних густини зводяться до величин, що враховують значення густини на поверхні еліпсоїда. Результати. На відміну від моделі другого порядку, яка описує грубі глобальні неоднорідності, отримана функція розподілу дає детальнішу картину розміщення аномалій густини (відхилення тривимірної функції від усередненої по сфері – “ізоденс”). Аналіз карт на різних глибинах 2891 км (ядро-мантія) та 5150 км (внутрішнє-зовнішнє ядро) дозволяє зробити попередні висновки про глобальний перерозподіл мас за рахунок обертової складової сили тяжіння по всьому радіусу, а також за рахунок горизонтальних компонент градієнта густини. Цей факт є особливо помітним для екваторіальних областей. Навпаки, в полярних частинах Землі спостерігається мінімум такого відхилення, що також має своє пояснення: величина сили обертання зменшується при зміщенні до полюса. Побудована за допомогою запропонованого методу функція розподілу мас більш детально описує картину розподілу мас. Особливий інтерес становлять картосхеми компонент градієнта аномалій густини, а саме компонента, що співпадає з віссю Oz – для верхньої частини оболонки вона від’ємна, для нижньої – додатна. Це означає, що вектор градієнта напрямлений в сторону центра мас. Характер значень для двох інших компонент різний і за знаком так і за величиною та залежить від точки розміщення. Сукупний розгляд та врахування всіх величин дає можливість повнішої інтерпретації процесів усередині Землі. Наукова новизна. На відміну від традиційного підходу зміни для похідних густини однієї змінної (глибини), отриманих із рівняння Адамса-Вільямса, в цій роботі зроблено спробу одержати похідні за декартовими координатами. Використання в описаному методі параметрів гравітаційного поля до четвертого порядку включно збільшує порядок апроксимації функції розподілу мас трьох змінних з двох до шести, а її похідних – до п’яти. При цьому, на відміну від традиційної методики, визначаючим тут є побудова похідних, з яких відтворюється функція розподілу мас та використання геофізичної інформації, що акумульована в реферецній моделі PREM. Практична значущість. Отриману функцію розподілу мас Землі можна використати як наступне наближення при використанні стоксових постійних вищих порядків у поданому алгоритмі. Її застосування дає можливість інтерпретувати глобальні аномалії гравітаційного поля та вивчати глибинні геодинамічні процеси всередині Землі.To investigate the technique for constructing a three-dimensional distribution function for the masses of the interior of the Earth and its derivatives, coordinated with the parameters of the planet's gravitational field to fourth order inclusive. By using the mass distribution function constructed, to make an interpretation of the features of the internal structure of an ellipsoidal planet. Methodology. Based on the created initial approximation of the function, which includes a reference densitymodel, further refinements are built. Using Stokes constants up to the second order inclusive, we give the following approximation, which we subsequently take as zero. In this case, the use of Stokes constants up to the fourth order inclusive leads to the solution of systems of equations. It is established that the addition of one identity leads to uniqueness of the solution. One system with Stokes constants c40 ,c42 ,c44. is an exception. It is necessary to note that the computation process is controllable, since the power moments of the density derivatives are reduced to quantities that take into account the value of the density on the surface of the ellipsoid. Results. In contrast to the second-order model describing gross global inhomogeneities, the obtained distribution function gives a detailed picture of the location of the density anomalies (the deviation of the three-dimensional function from the averaged over the sphere is “isodense”) Analysis of maps at different depths 2891 km (core-mantle), 5150 km (internal-external core) allows us to draw preliminary conclusions about the global mass redistribution due to the rotating component of the force of gravity over the entire radius, as well as due to the horizontal components of the density gradient. On the contrary, the minimum of such a deviation is observed in the polar parts of the Earth, which also has its explanation: the magnitude of the rotational force decreases when approaching the pole. The mass distribution function is constructed using the proposed method to describe in more detail the picture of the mass distribution. Of particular interest are sketch maps of the components of the density anomaly function gradient, namely the component which coincides with the axis Oz - for the upper part of the shell which is negative, and for the lower part it is positive. This means that the gradient vector is directed toward the centre of mass. The nature of the values for other two components is different both in sign and in magnitude and depends on the placement point. The cumulative consideration and consideration of all the quantities makes possible a more complete interpretation of the processes inside the Earth. Originality. In contrast to the traditional approach, the changes for the density derivatives of one variable (depth), obtained from the Adams-Williams equation, in this paper made an attempt to obtain derivatives with Cartesian coordinates. Used in the described method, the parameters of the gravitational field up to the fourth order inclusively increases the order of approximation of the mass distribution function of three variables from two to six, and its derivatives up to five. In this case, unlike the traditional method, the defining here is the construction of the derivatives, from which the mass distribution function and the use of geophysical information accumulated in the referential PREM model are reproduced. Practical significance. The resulting mass distribution function of the Earth can be used as the next approximation when using Stokes constants of higher orders in the presented algorithm. Its application makes it possible to interpret global anomalies of the gravitational field and to study geodynamic processes deeply inside the Earth.Исследовать методику построения трехмерной функции распределения масс недр внутри Земли и ее производных, согласованную с параметрами гравитационного поля планеты к четвертому порядку включительно. По построенной таким способом функцией распределения масс осуществить интерпретацию особенностей внутреннего строения эллипсоидальной планеты. Методика. На основе созданного начального приближения функции, включающего референцную модель плотности, выстраиваются дальнейшие уточнения. Используя Стокса постоянные до второго порядка включительно, даем следующее приближение, которое в дальнейшем принимаем как нулевое. При этом использование стоксовых постоянных до четвертого порядка включительно приводит к решению систем уравнений. Установлено, что присоединение одного тождества приводит к однозначности решения. Исключением является одна система с стоксовыми постоянными c40 ,c42 ,c44. Заметим, что процесс вычислений является контролируемым, так как степенные моменты производных плотности сводятся к величинам, которые учитывают значение плотности на поверхности эллипсоида. Результаты. В отличие от модели второго порядка, описывающей грубые глобальные неоднородности, полученная функция распределения дает подробную картину размещения аномалий плотности (отклонение трехмерной функции от усредненной по сфере – “изоденс”). Анализ карт на разных глубинах 2891 км (ядро-мантия), 5150 км (внутреннее-внешнее ядро) позволяет сделать предварительные выводы о глобальном перераспределении масс за счет вращающейся составляющей силы тяжести по всему радиусу, а также за счет горизонтальных компонент градиента плотности. Этот факт особенно заметен для экваториальных областей. Напротив, в полярных частях Земли наблюдается минимум такого отклонения, что также имеет свое объяснение: величина силы вращения уменьшается при смещении к полюсу. Построена с помощью предложенного метода функция распределения масс более подробно описывает картину распределения масс. Особый интерес представляют картосхемы компонентов градиента функции аномалий плотности, а именно компонента, что совпадает с осью Oz – для верхней части оболочки она отрицательная, для нижней положительная. Это значит, что вектор градиента направлен в сторону центра масс. Характер значений для двух других компонент разный как по знаку, так и по величине и зависит от точки размещения. Совокупное рассмотрение и учет всех величин дает возможность более полной интерпретации процессов внутри Земли. Научная новизна. В отличие от традиционного подхода изменения для производных плотности одной переменной (глубины), полученных из уравнения Адамса-Уильямса, в данной работе сделана попытка получить производные по декартовым координатам. Использование в описанном методе параметров гравитационного поля до четвертого порядка включительно увеличивает порядок аппроксимации функции распределения масс трех переменных с двух до шести, а ее производных – до пяти. При этом, в отличие от традиционной методики, определяющим здесь является построение производных, из которых воспроизводится функция распределения масс и использования геофизической информации, аккумулированная в реферецной модели PREM. Практическая значимость. Полученная функция распределения масс Земли может быть использована как следующее приближение при использовании стоксовых постоянных высших порядков в представленном алгоритме. Ее применение дает возможность интерпретировать глобальные аномалии гравитационного поля и изучать глубинные геодинамические процессы внутри Земли.