Математичні просторові моделі визначення температурного поля із локально зосередженим тепловим нагріванням

Abstract

Розроблено лінійні та нелінійні математичні моделі визначення температурного поля, а в подальшому і аналізу температурних режимів у ізотропних просторових неоднорідних середовищах, які піддаються внутрішнім та зовнішнім тепловим навантаженням. Для цього коефіцієнт теплопровідності для таких структур описано єдиним цілим за допомогою симетричних одиничних функцій, що дає змогу розглядати крайові задачі теплопровідності з одним лінійним та нелінійним диференціальним рівнянням теплопровідності з розривними коефіцієнтами та лінійними і нелінійними крайовими умовами на межових поверхнях середовищ. У випадку нелінійної крайової задачі застосовано перетворення Кірхгофа, за допомогою якого лінеаризовано вихідне нелінійне рівняння теплопровідності та нелінійні крайові умови і внаслідок отримано лінійне диференціальне рівняння другого порядку з частковими похідними та сингулярними коефіцієнтами відносно функції Кірхгофа з лінійними крайовими умовами. Для розв'язування отриманої лінійної крайової задачі використано метод інтегрального перетворення Фур'є, внаслідок чого отримано аналітичний розв'язок, який визначає лінеаризуючу функцію Кірхгофа. Як приклад, вибрано лінійну та кубічну залежності коефіцієнта теплопровідності конструкційних матеріалів структури від температури, які часто використовують у багатьох практичних задачах. Внаслідок цього отримано аналітичні співвідношення у вигляді квадратних і біквадратних рівнянь для визначення розподілу температури у термочутливому шарі з чужорідним включенням при зовнішньому локальному нагріванні. Виконано числовий аналіз поведінки температури як функції просторових координат для заданих значень геометричних і теплофізичних параметрів. Досліджено вплив чужорідного включення на розподіл температури, якщо матеріалом середовища вибрано кераміку ВК94-І, а включення – срібло, алюміній та кремній. Для визначення числових значень температури в наведених конструкціях, а також аналізу теплообмінних процесів у середині цих конструкцій, зумовлених внутрішніми та зовнішніми тепловими навантаженнями, розроблено програмні засоби, із використанням яких виконано геометричне зображення розподілу температури залежно від просторових координат. Отримані числові значення температури свідчать про відповідність розроблених математичних моделей аналізу теплообмінних процесів у просторових неоднорідних середовищах з внутрішнім та зовнішнім нагріванням реальному фізичному процесу. Програмні засоби також дають змогу аналізувати такого роду середовища, які піддаються внутрішнім та зовнішнім тепловим навантаженням, щодо їх термостійкості. Як наслідок, стає можливим її підвищити і захистити від перегрівання, яке може спричинити руйнування не тільки окремих елементів, а й всієї конструкції.

Linear and nonlinear mathematical models for determining the temperature field, and later the analysis of temperature regimes in isotropic spatial inhomogeneous media exposed to internal and external thermal loads have been developed. To do this, the thermal conductivity for such structures is described as a whole using symmetric unit functions, which allows us to consider boundary thermal conductivity problems with one linear and nonlinear differential equation of thermal conductivity with discontinuous coefficients and linear and nonlinear boundary conditions on boundary surfaces. In the case of a nonlinear boundary value problem, the Kirchhoff transform is applied, which linearizes the initial nonlinear equation of thermal conductivity and nonlinear boundary conditions and results in a second-order linear differential equation with partial derivatives and singular coefficients with respect to the Kirchhoff function with linear conditions. To solve the obtained linear boundary value problem, the method of integral Fourier transform was used, as a result of which an analytical solution was obtained, which determines the Kirchhoff linearizing function. As an example, the linear and cubic dependences of the thermal conductivity of structural materials on the structure, which are often used in many practical problems, are chosen. As a result, analytical relations in the form of quadratic and biquadratic equations are obtained to determine the temperature distribution in the thermosensitive layer with foreign inclusion at external local heating. Numerical analysis of temperature behavior as a function of spatial coordinates for given values of geometric and thermophysical parameters is performed. The influence of foreign inclusion on the temperature distribution was studied if the material of the medium was selected ceramics VK94-I, and the inclusion – silver, aluminum and silicon. To determine the numerical values of temperature in these structures, as well as the analysis of heat transfer processes in the middle of these structures due to internal and external heat loads, developed software that uses a geometric representation of temperature distribution depending on spatial coordinates. The obtained numerical values of temperature testify to the correspondence of the developed mathematical models of the analysis of heat exchange processes in spatial inhomogeneous media with internal and external heating to the real physical process. Software also allows you to analyze this type of environment, which are exposed to internal and external heat loads, in terms of their heat resistance. As a result, it becomes possible to increase it and protect it from overheating, which can lead to the destruction of not only individual elements but also the entire structure.