Математичні моделі визначення температурних полів у неоднорідних елементах цифрових пристроїв із урахуванням термочутливості

Abstract

Розроблено лінійну та нелінійну математичні моделі визначення температурного поля, а згодом і аналізу температурних режимів у ізотропних просторових середовищах із напівнаскрізними чужорідними включеннями, які піддаються внутрішнім та зовнішнім тепловим навантаженням. Для цього коефіцієнт теплопровідності для таких структур описано єдиним цілим за допомогою асиметричних одиничних функцій, що дає змогу розглядати крайові задачі теплопровідності з одним лінійним та нелінійним диференціальними рівняннями теплопровідності з розривними та сингулярними коефіцієнтами та лінійними і нелінійними крайовими умовами на межових поверхнях середовищ. У випадку нелінійної крайової задачі запроваджено лінеаризуючу функцію, із використанням якої лінеаризовано вихідне нелінійне рівняння теплопровідності та нелінійні крайові умови і внаслідок цього отримано частково лінеаризоване диференціальне рівняння другого порядку з частковими похідними та розривними і сингулярними коефіцієнтами відносно лінеаризуючої функції з частково лінеаризованими крайовими умовами. Для остаточної лінеаризації частково лінеаризованих диференціального рівняння та крайових умов виконано апроксимацію температури за однією з просторових координат на межових поверхнях включення кусково-сталими функціями, внаслідок чого як диференціальне рівняння, так і крайові умови стають цілком лінеаризованими. Для розв’язування отриманої лінійної крайової задачі використано метод інтегрального перетворення Ганкеля, внаслідок чого отримано аналітичний розв’язок, який визначає запроваджену лінеаризуючу функцію. Як приклад, вибрано лінійну залежність коефіцієнта теплопровідності конструкційних матеріалів структури від температури, яку часто використовують у багатьох практичних задачах. Внаслідок цього отримано аналітичні співвідношення у вигляді квадратних рівнянь для визначення розподілу температури у термочутливому шарі з чужорідним напівнаскрізним включенням при зовнішньому нагріванні у вигляді теплового потоку. Виконано числовий аналіз поведінки температури як функції просторових координат для заданих значень геометричних і теплофізичних параметрів. Досліджено вплив чужорідного включення на розподіл температури, якщо матеріалом середовища вибрано кераміку ВК94-І, а включення – срібло. Для визначення числових значень температури в наведених конструкціях, а також аналізу теплообмінних процесів у середині цих конструкцій, зумовлених внутрішніми та зовнішніми тепловими навантаженнями, розроблено програмні засоби, із використанням яких виконано геометричне зображення розподілу температури, залежно від просторових координат. Отримані числові значення температури свідчать про відповідність розроблених математичних моделей аналізу теплообмінних процесів у просторових неоднорідних середовищах із внутрішнім та зовнішнім нагріванням реальному фізичному процесу. Програмні засоби також дають змогу аналізувати такого роду середовища, які піддаються внутрішнім та зовнішнім тепловим навантаженням щодо їх термостійкості. Як наслідок, стає можливим її підвищити і захистити від перегрівання, яке може спричинити руйнування не тільки окремих елементів, а й всієї конструкції.

Linear and nonlinear mathematical models for determining the temperature field and subsequently analyzing temperature regimes in isotropic spatial media with semi-through foreign inclusions subjected to internal and external thermal loads are developed. For this purpose, the heat transfer coefficient for such structures is described as a single unit using asymmetric unit functions, which makes it possible to consider boundary value problems of heat transfer with one linear and nonlinear differential equations of heat transfer with discontinuous and singular coefficients and linear and nonlinear boundary conditions on the boundary surfaces of the media. In the case of a nonlinear boundary value problem, the introduced linearizing function is used to linearize the original nonlinear heat conduction equation and nonlinear boundary conditions, and as a result, a partially linearized second-order differential equation with partial derivatives and discontinuous and singular coefficients is obtained relative to the linearizing function with partially linearized boundary conditions. For the final linearization of the partially linearized differential equation and boundary conditions, the temperature is approximated by one of the spatial coordinates on the boundary surfaces of the inclusion by piecewise linear functions, as a result of which both the differential equation and boundary conditions become fully linearized. To solve the resulting linear boundary value problem, the Hankel integral transformation method is used, which results in an analytical solution that determines the introduced linearizing function. As an example, the linear dependence of the thermal conductivity coefficient of structural materials of a structure on temperature, which is often used in many practical problems, is chosen. As a result, analytical relations in the form of quadratic equations were obtained to determine the temperature distribution in a thermally sensitive layer with a foreign semi-through inclusion under external heating in the form of a heat flux. A numerical analysis of the temperature behavior as a function of spatial coordinates for given values of geometric and thermophysical parameters is performed. The influence of a foreign inclusion on the temperature distribution is investigated if the VK94-I ceramic is chosen as the material of the medium and the inclusion is silver. To determine the numerical values of temperature in the above structures, as well as to analyze heat transfer processes inside these structures caused by internal and external thermal loads, software tools have been developed that have been used to perform a geometric image of the temperature distribution depending on spatial coordinates. The obtained numerical temperature values indicate that the developed mathematical models for analyzing heat transfer processes in spatially heterogeneous environments with internal and external heating correspond to a real physical process. The software also makes it possible to analyze such environments subjected to internal and external thermal loads in terms of their thermal resistance. As a result, it becomes possible to increase it and protect it from overheating, which can cause the destruction of not only individual elements but also the entire structure.