Застосування перетворення Фур’є для розв’язання одновимірного рівняння Шредінґера

Abstract

Розроблено числовий метод розв’язання стаціонарного одномірного рівняння Шредінґера. Метод ґрунтується на перетворенні Фур’є хвильового рівняння. Внаслідок чого отримуємо інтегральне рівняння, в якому інтеграл замінюємо підсумовуванням. Остаточно отримаємо задачу лінійної алгебри на власні числа та власні вектори, які відповідають дискретним рівням енергії та Фур’є-образам хвильових функцій. За допомогою зворотного Фур’є-перетворення отримаємо хвильову функцію. Для одновимірного скінченного кристала дискретні рівні енергії розщеплюються і формують заборонені та дозволені зони. Метод перевірений на багатьох прикладах і характеризується високою точністю пошуку дискретних рівнів енергії. Developed a numerical method of solution of the one-dimensional steady Schrödinger equation. This method is based on Fourier transformation of the wave equation. As a result, we obtain integral equation, in which we replace integral with summation. Finally we get the problem of linear algebra on eigenvalues and eigenvectors that correspond to discrete energy levels and the Fourier transform of wave functions. Using inverse Fourier transformation we get wave function. For one-dimensional finite crystal discrete energy levels are split and form band gaps and allowed zones. This method was tested on many examples and is characterized by precision search of discrete energy levels.