Математичне моделювання дифузійних процесів в рамках статистики Рені

Abstract

Дисертація присвячена побудові та дослідженню математичних моделей дифузійних та субдифузійних процесів частинок у просторово-неоднорідних системах на основі узагальнених рівнянь дифузії, отриманих методом нерівноважного статистичного оператора Зубарєва у рамках статистики на основі ентропії Рені. Виведено узагальнені рівняння q-дифузiї та електродифузії (для носіїв заряду) у дробових похідних на основі рівняння Ліувілля у дробових похідних, запропоно-ваного Тарасовим у методі нерівноважного статистичного оператора. Вперше отримано узагальнені рівняння електродифузії типу Кеттано для систем з просторово-часовою фрактальністю. Проведено чисельне моделювання субдифузійного імпедансу на основі рівняння Кеттано у дробових похідних, що дало можливість проаналізувати нелінійну природу явищ переносу заряду в мультишарових наноструктурах на основі частотної залежності дійсної та уявної частин загальненого опору. Отримано якісне погодження із експериментальними дослідженнями для мультишарових наноструктур. Проведено числовий розрахунок просторово-часової залежності функцiї розсiювання та коефiцiєнта q-дифузiї при вiдповiдних значеннях параметра Ренi q для модельної системи iз застосуванням кумулянтних розкладiв. Запропоновано математичну модель опису кінетичних та гідродинамічних процесів для системи взаємодіючих частинок, що перебувають у нерівноважних станах, далеких від рівноваги, на основі узагальнених кiнетичних рiвнянь для нерiвноважних одночастинкової та двочастинкової функцiй розподілу, отриманих методом нерiвноважного статистичного оператора Зубарєва для класичних систем далеких вiд рiвноваги у статистиці Рені. Показано, що у структуру рівнянь входять узагальнені коефiцiєнти дифузiї i тертя частинок у просторi координат та iмпульсiв. Диссертация посвячена построению и исследованию математических моделей диффузионных и субдиффузионных процессов частиц в пространственно-неоднородных системах на основании обобщенных уравнений диффузии, полученых методом неравновесного статистического оператора Зубарева в рамках статистики на основе энтропии Реньи. Выведено обобщенное уравнение q-диффузии и электродиффузии (для носителей заряда) в дробных производных на основании уравнения Лиувилля в дробных производных, предложенного Тарасовым в методе неравновесного статистического оператора. Впервые получено обобщенные уравнения электродиффузии типа Кеттано для систем с пространственно-временной фрактальностью. Проведено чисельное моделирование субдиффузионного импеданса на основании уравнения Кеттано в дробных производных. Это дало возможность проанализировать нелинейную природу явлений переноса зарядов в мультислоистых наноструктурах на основе частотной зависимости действительной и мнимой частей обобщенного сопротивления. Получено качественное согласование с экспериментальными исследованиями для мультислоистых наноструктур. Проведен чисельный расчет функции рассеяния и коэффициента q-диффузии при соответствующих значениях параметра Реньи q для модельной системы с применением куммулянтных разложений. Предложена математическая модель описания кинетических и гидродинамических процессов для системы взаимодействующих частиц, что находятся в неравновесных состояниях далеких от равновесия на основании обобщенных кинетических уравнений для неравновесных одночастичной и двучастичной функций распределения, полученных методом неравновесного статистического оператора Зубарева для классических систем, далеких от равновесия в статистике Реньи. Показано, что в структуру уравнений входят обобщенные коэффициенты диффузии и трения частиц в пространстве координат и импульсов. The dissertation is devoted to the construction and research of mathematical models of diffusion and subdiffusion processes of particles in spatially inhomogeneous systems on the basis of generalized diffusion equations obtained by the method of the non-equilibrium statistical operator Zubarev in the framework of statistics on the basis of Renyi entropy. The generalized equation (non-Markovian) of the diffusion in fractional derivatives was obtained using the NSO method. With q =1 the generalized equation of q -diffusion in the Renyi statistics goes into a generalized equation of the diffusion of Gibbs statistics in fractional derivatives. The generalized equations of q-diffusion and electrodifusion (for ions, electrons) in fractional derivatives have been established on the basis of the Liouville equation in fractional derivatives in the non-equilibrium statistical operator method. For the first time, generalized Kettano-type electrodiffusion equations for systems with spatialtemporal fractality have been obtained. A numerical modelling of the sub-diffusion impedance on the basis of Kettano equation in fractional derivatives has been carried out, enabling to analyse the nonlinear nature of charge transfer phenomena in multi-layer nanostructures based on the frequency dependence of the real and imaginary parts of its generalized resistance. A qualitative coordination with the experimental studies for multi-layer nanostructures has been obtained. The analysis of the outlined Nyquist diagrams has led to a somewhat unexpected result: the increase of the frequency dispersion of the impedance hodograph, observed in the experiment, in the synthesis in an electric field with simultaneous illumination is not due to the growth of τ, as it was expected, but due to the change in the temporal fractal dimension α. This also applies to the appearance of inductive response in the high-frequency area. The increase in the frequency dispersion Z (iω) under illumination, which involves photoinduced polarization in such systems, also correlates primarily with the change of α. For mathematical modelling of diffusion processes, the q-diffusion equation for an one-component system of interacting particles in the non-equilibrium statistical operator method has been obtained and a numerical calculation of the spatial-temporal dependence of the scattering function and the q-diffusion coefficient with the corresponding values of the Renyi q parameter for the model system with applying cumulative decompositions has been carried out. With q  1 the results are obtained that correspond to the processes of normal diffusion. It is important to note that in the temporal dependence of the correlation functions, a negative area of dependence has been observed which is actively researched by other methods, in particular by the Mori projection operators’ method in the Gibbs statistics. A mathematical model for describing kinetic and hydrodynamic processes for a system of interacting particles in non-equilibrium states distant from equilibrium based on generalized kinetic equations for non-equilibrium single-particle and two-particle distribution functions obtained by Zubarev’s method of a non-equilibrium statistical operator for classical systems distant from equilibrium in the Renyi statistics has been proposed. It has been shown that the structure of the equations includes generalized coefficients of diffusion and friction of particles in the space of coordinates and impulses. The internal structure of the generalized memory functions has been revealed, which made it possible to show that the kinetic equations are of Fokker-Planck type, which contain the correlation functions of the second and higher orders according to the dynamic variables: the microscopic densities of the number of particles, their impulse and power in the space of coordinates and impulses. The fourth-order memory functions according to variables allow for approximations corresponding to the ideology of the theory of interacting modes and can be used to model nonlinear processes.