Towards adaptation of the NURBS weights in shape optimization

Abstract

Параметризація на основі Без’є в оптимізації форми має недолік використання поліномів високого степеня для рисування більш складних форм. Щоб подолати цей недолік, зазвичай використовуються неоднорідні раціональні B-сплайни (NURBS). Але, розглядаючи NURBS–ваги, крім розташування контрольних точок, як оптимізаційних змінних, вимірність задачі значно збільшується, і це робить процес оптимізації більш жорстким. У цій роботі пропонуємо алгоритм для адаптації вагових коефіцієнтів NURBS у параметризації задач оптимізації форми. На відміну від координат контрольних точок, ваги в цьому випадку не розглядаються як змінні процесу оптимізації. Знаючи наближену оптимальну форму, розглядаємо множину всіх NURBS–параметризацій однакового степеня, які апроксимують форму в сенсі найменших квадратів. Після того обираємо параметризацію, пов’язану з найбільш правильним контрольним многокутником (з найменшою довжиною контрольного многокутника).

Bézier based parametrisations in shape optimization have the drawback of using high degree polynomials to draw more complex shapes. To overcome this drawback, Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS) are usually used. But, by considering the NURBS weights, in addition to the locations of the control points, as optimization variables, the dimension of the problem greatly increases and this would make the optimization process stiffer. In this work we propose, then, an algorithm to adapt the weights of NURBS in the parametrization of shape optimization problems. Unlike the coordinates of the control points, the weights are not considered, in this case, as variables of the optimization process. From the knowledge of an approximate optimal shape, we consider the set of all NURBS parametrizations of the same degree that approximate the shape in the sense of least squares. Then, we elect the parametrization associated with the most regular control polygon (least length of the control polygon). Numerical results show that the adaptive parametrization improves the performance of the optimization process.