High accurate method to calculate a singular integral related to Hankel transform

Abstract

У цій роботі нас цікавить апроксимація інтеграла I0(f, ω) =∫∞0f(t) e−t J0(ωt)dt для досить великих значень ω. Цей сингулярний інтеграл походить від перетворення Ганкеля порядку 0, f(x) є функцією, з якою інтеграл є збіжним. Для досить великих значень ω класичні квадратурні методи непридатні, а з іншого боку, ці методи застосовні для відносно малих значень ω. Більше того, усі квадратурні методи зводяться до оцінки функції, що інтегрується у вузлах розбиття інтервалу інтегрування, звідси випливає необхідність оцінювати експоненціальну функцію та функцію Бесселя у досить великих вузлах інтервалу ]0, +∞[. Ідея полягає в тому, щоб мати значення I0(f, ω) з великою точністю для великих ω без необхідності вдосконалювати чисельний метод обчислення інтегралів, просто вивчаючи поведінку функції I0(f, ω) та екстраполюючи її. Використовується два підходи до екстраполяції I0(f, ω). Перший з них — це апроксимація Паде I0(f, ω), а другий — раціональна інтерполяція.

In this paper we are interested in the approximation of the integral I0(f,ω)=∫∞0f(t)e−tJ0(ωt)dt for fairly large ω values. This singular integral comes from the Hankel transformation of order 0, f(x)is a function with which the integral is convergent. For fairly large values of ω , the classical quadrature methods are not appropriate, on the other side, these methods are applicable for relatively small values of ω. Moreover, all quadrature methods are reduced to the evaluation of the function to be integrated into the nodes of the subdivision of the integration interval, hence the obligation to evaluate the exponential function and the Bessel function at rather large nodes of the interval ]0,+∞[. The idea is to have the value of I0(f,ω) with great precision for large ω without having to improve the numerical method of calculation of the integrals, just by studying the behavior of the function I0(f,ω) and extrapolating it. We will use two approaches to extrapolation of I0(f,ω). The first one is the Padé approximant of I0(f,ω) and the second one is the rational interpolation.