On the maximal output set of fractional-order discrete-time linear systems

Abstract

У статті розглядається лінійна дискретно-часова система дробового порядку Δαxk+1=Axk+Buk, k≥0, x0ϵRn; yk=Cxk, k≥0, де A, B та C є відповідними матрицями, x0 — початковий стан, α — порядок похідної, yk — вихідний сигнал та uk=Kxk — керування зі зворотним зв’язком. Означивши дробову похідну за Грюнвальд–Летніковим, досліджується характеристика максимальної множини виходу, Γ(Ω)={x0∈Rn/yi∈Ω,∀i≥0}, де Ω ⊂ Rp — обмежена множина, та використовуючи деяку гіпотезу про стійкість та спостережуваність, доводиться, що множина Γ(Ω) може бути отримана зі скінченої кількості нерівностей. Алгоритмічний підхід застосовано для визначення множини максимального виходу, так само як для ілюстрації теоретичних результатів та чисельної симуляції.

In this paper, we consider a linear discrete-time fractional-order system defined by Δαxk+1=Axk+Buk, k≥0, x0ϵRn; yk=Cxk, k≥0, where A, B and C are appropriate matrices, x0 is the initial state, α is the order of the derivative, yk is the signal output and uk=Kxk is feedback control. By defining the fractional derivative in the Grunwald–Letnikov sense, we investigate the characterization of the maximal output set, Γ(Ω)={x0∈Rn/yi∈Ω,∀i≥0}, where Ω⊂Rp is a constraint set; and, by using some hypotheses of stability and observability, we prove that Γ(Ω) can be derived from a finite number of inequations. A powerful algorithm approach is included to identify the maximal output set; also, some appropriate algorithms and numerical simulations are given to illustrate the theoretical results.