Аналіз математичних моделей квантового паралелізму

Abstract

У цій статті виконано аналіз математичних моделей квантового паралелізму, основаного на переведенні квантової системи у стан суперпозиції. Обґрунтовано принципи квантового паралелізму та його математичні засади. Для демонстрації квантової переваги проаналізовано математичні моделі фундаментальних квантових алгоритмів Дойча-Йожи та Гровера, які ілюструють ефективність квантових обчислень у порівнянні з класичними методами. Розглянуто алгоритм Дойча-Йожи, який узагальнює задачу визначення виду бінарної функції, розширюючи її на множину аргументів, записаних у квантовому регістрі. Цей алгоритм дозволяє визначити, чи є функція постійною або збалансованою за один квантовий виклик, тоді як у класичних обчисленнях для цього потрібен експоненційний час. Відзначено, що хоча алгоритм Дойча-Йожи демонструє можливості паралельних квантових обчислень, проте має переважно теоретичне значення. Алгоритм Гровера реалізує квантові паралельні обчислення для практичної задачі пошуку елемента у невпорядкованій базі даних. Він заснований на ітераційному підсиленні амплітуди стану, що відповідає шуканому елементу, та забезпечує квадратичне прискорення порівняно з класичними алгоритмами. Крім пошуку в базі даних, алгоритм Гровера може бути адаптований для розв’язання інших задач оптимізації. Роботу розглянутих алгоритмів проілюстровано числовими прикладами, що спрощує розуміння їхніх принципів та сприяє подальшому методологічному розвитку паралельних квантових обчислень. У статті також окреслено переваги квантового паралелізму над класичними обчисленнями та визначено перспективи застосування паралельних квантових алгоритмів. This article analyzes mathematical models of quantum parallelism based on the transfer of a quantum system into a superposition state. The principles of quantum parallelism and its mathematical foundations are substantiated. To demonstrate the quantum advantage, mathematical models of fundamental quantum algorithms Deutsch-Joža and Grover are analyzed, which illustrate the efficiency of quantum computing compared to classical methods. The Deutsch-Joshy algorithm is considered, which generalizes the problem of determining the type of a binary function by extending it to a set of arguments written in a quantum register. This algorithm allows determining whether a function is constant or balanced in a single quantum call, while in classical calculations this requires exponential time. It is noted that although the Deutsch-Joshy algorithm demonstrates the possibilities of parallel quantum computing, it is of mainly theoretical importance. Grover's algorithm implements quantum parallel computing for the practical problem of searching for an element in an unordered database. It is based on iterative amplification of the amplitude of the state corresponding to the searched element and provides quadratic speedup compared to classical algorithms. In addition to database search, Grover's algorithm can be adapted to solve other optimization problems. The work of the considered algorithms is illustrated by numerical examples, which simplifies the understanding of their principles and contributes to the further methodological development of parallel quantum computing. The article also outlines the advantages of quantum parallelism over classical computing and identifies the prospects for the application of parallel quantum algorithms.