Математичне моделювання процесів дифузії у випадково неоднорідних шаруватих тілах

Abstract

Дисертація присвячена розробці нових та узагальненню відомих підходів математичного моделювання процесів дифузії у двофазних тілах випадково неоднорідної шаруватої структури з урахуванням довільних розмірів включень окремих фаз. Узагальнено підхід до опису дифузійних процесів у стохастично неоднорідних шаруватих тілах на випадок формулювання контактно-крайових задач дифузії з використанням кінетичних коефіцієнтів переносу. Досліджено міграцію речовини в шарі з випадково розташованими включеннями за рівномірного розподілу фаз та багатошаровому півпросторі з гама-розподілом включень, а також його частковими випадками: експоненціальним, ерлангівським та розподілом. Розроблено підхід до математичного опису дисперсії поля і функції кореляції поля мігруючих частинок у двофазних шаруватих тілах на основі подання поля концентрації у вигляді ряду Неймана, урахування усереднення за ансамблем конфігурацій фаз з використанням детермінованої функції Гріна і функції кореляції фаз. Розроблено відповідне програмне забезпечення. Диссертация посвящена разработке новых и обобщению известных подходов математического моделирования процессов диффузии в двухфазных телах случайно неоднородной слоистой структуры с учетом конечных размеров включений отдельных фаз. На случай постановки контактно-краевых задач диффузии с использованием кинетических коэффициентов переноса обобщен подход к описанию диффузионных процессов в случайно неоднородных слоистых телах, который базируется на построении уравнения массопереноса для всего тела с учетом условий неидеального контакта на функцию концентрации, формулировании интегро-дифференциального уравнения со случайным оператором, эквивалентного исходной краевой задаче математической физики, его решении методом последовательных приближений и усреднении полученного поля концентрации в виде бесконечного интегрального ряда Неймана по ансамблю конфигураций фаз. Предложенный подход применен к решению задач диффузии в двухфазных стохастически неоднородных слоистых средах, постановка которых сделана на основании законов Фика для каждой фазы. При этом случайными величинами являются координаты границ контакта фаз. Получены формулы для определения усредненного по ансамблю реализаций структуры тела поля концентраци с равномерным распределением фаз, представленные через концентрацию в однородном слое и функции Грина. Доказана абсолютная и равномерная сходимость интегральных построенных рядов Неймана. При этом не налагались ограничения на плотность функции распределения фаз, что означает справедливость разработанного подхода для произвольного распределения включений в теле. Определена оценка суммы остаточных членов ряда Неймана и показано, что к улучшению сходимости рядов Неймана приводит уменьшение объемной доли включений. Рассмотрены случаи равномерного распределения фаз в слое, полупространства с гамма-распределением включений и его частные случаи: экспоненциальное, эрланговское и -распределение слоистых включений. При числовом исследовании отмечено характерное увеличение концентрации частиц в приграничных областях слоистого полупространства, причем во многих случаях максимум концентрации со временем сдвигается в глубину тела. Для слоя з равномерным распределением фаз харак¬терно монотонно убывающее поведение функции усредненной концентрации примесного вещества. Разработанный пакет программ применен к исследованию диффузии водорода и углерода в слоистых структурах железо-медь и альфа-железо-никель. Разработан подход к математическому описанию дисперсии поля и функции корреляции диффундирующих частиц в двухфазных слоистых телах на основании представления поля концентрации в виде сходящегося интегрального ряда Неймана, учета усреднения по ансамблю конфигураций фаз, использования детерминированной функции Грина и функции корреляции фаз. На базе компьютерного моделирования установлено возрастание дисперсии поля и функции корреляции поля концентрации примесного вещества в окрестности границы тела, где действует источник массы, со временем максимум сдвигается в глубину тела, а сами исследуемые функции стремятся к симметричному виду. The thesis is devoted to development of new approaches and generalization of known ones for mathematical modelling diffusion processes in two-phase bodies of randomly inhomogeneous stratified structure with taking into account finite sizes of inclusions of certain phases. The approach for describing diffusion processes in stochastically inhomogeneous stratified bodies was generalized on the case of formulation of contact initial boundary value problems using kinetic coefficients of transfer. Admaxtura migration was investigated in a layer with randomly disposed inclusions at uniform distribution of phases and multilayer semispace with gamma-distribution of inclusions and its partial case such as exponential, Erlangian and - distribution. The approach to mathematical description of field dispersion and correlation function of the field of migrating particles in two-phase stratified bodies was developed on the basis of representation of concentration field in terms of Neumann series, with account of averaging over the ensemble of phase configuration, using deterministic Green function and the function of phase correlation. The corresponding software was disigned.