Embedding physical laws into Deep Neural Networks for solving generalized Burgers-Huxley equation

Abstract

До складних задач математики належить задача розв’язування диференціальних рівнянь із частинними похідними (PDE). На сьогоднішній день не існує техніки чи методу, здатного розв’язати всі PDE, незважаючи на велику кількість запропонованих ефективних методів. У літературі можна знайти чисельні методи, такі як методи скінченних різниць, скінченних елементів, скінченних об’ємів та їх варіанти, напіваналітичні методи, такі як варіаційний ітеративний метод, новий ітеративний метод та інші. В останні роки ми стали свідками впровадження нейронних мереж у розв’язуванні PDE. У цій роботі пропонуємо адаптацію методу вбудовування деяких фізичних законів у нейронні мережі для розв’язання рівняння Бюргерса–Гакслі та виявлення динамічної поведінки рівняння безпосередньо з просторово-часових даних. Поєднуємо запропоновану техніку з методом адаптивного уточнення на основі нев’язок, щоб підвищити його точність. Наведено порівняння запропонованого методу з отриманими за допомогою нового ітераційного методу.

Among the difficult problems in mathematics is the problem of solving partial differential equations (PDEs). To date, there is no technique or method capable of solving all PDEs despite the large number of effective methods proposed. One finds in the literature, numerical methods such as the methods of finite differences, finite elements, finite volumes and their variants, semi-analytical methods such as the Variational Iterative Method, New Iterative Method and others. In recent years, we have witnessed the introduction of neural networks in solving PDEs. In this work, we will propose an adaptation of the method of embedding some physical laws into neural networks for solving Burgers–Huxley equation and revealing the dynamic behavior of the equation directly from spatio-temporal data. We will combine our technique with the Residual-based Adaptive Refinement method to improve its accuracy. We will give a comparison of the proposed method with those obtained by the New Iterative Method.