Компактні різницеві схеми високого порядку точності для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь

Abstract

Дисертаційна робота присвячена побудові та обґрунтуванню компактних різницевих схем високого порядку точності для розв’язування крайових задач на скінченному відрізку та півосі для нелінійних звичайних диференціальних рівнянь та їх систем. У зв’язку з нелінійністю крайових задач та різницевих схем за основу брався як метод лінеаризації і принцип стискаючих відображень, так і метод монотонних операторів. Побудовано точні компактні різницеві схеми, коефіцієнти та права частина яких у кожному вузлі сітки виражаються через розв’язки додаткових задач Коші для звичайних диференціальних рівнянь на інтервалі довжиною в один крок. Доведено існування та єдиність їх розв’язку, збіжність ітераційного методу послідовних наближень для його знаходження. Розроблено ефективні алгоритмічні реалізації точних схем через відсічені компактні різницеві схеми довільного порядку точності. Доведено існування та єдиність розв’язку, отримано оцінки точності відсічених компактних різницевих схем. Доведено збіжність та дано оцінки точності ітераційних методів (послідовних наближень, Ньютона) для знаходження їх розв’язку. Ефективність запропонованих підходів ілюструється на чисельних прикладах. Диссертационная работа посвящена построению и обоснованию компактных разностных схем высокого порядка точности для решения краевых задач на конечном отрезке и полуоси для нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и их систем. В первой главе сделан обзор состояния проблемы по тематике диссертации. Сначала сделан обзор теории точных трехточечных разностных (ТТРС) и трехточечных разностных схем (ТРС) произвольного порядка точности, разработанной А.Н. Тихоновим, А.А. Самарским и их учениками для линейных дифференциальных уравнений второго порядка с краевыми условиями первого и третьего рода. Далее рассматриваются проблемы построения ТРС для нелинейных ОДУ второго порядка и двухточечных разностных схем (ДРС) для систем нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Обсуждаются вопросы построения и исследования ТТРС и ТРС произвольного порядка точности для линейных краевых задач на полуоси. Во второй главе построено ТТРС на неравномерной сетке для нелинейных ОДУ второго порядка с краевыми условиями первого и третьего рода. При помощи метода линеаризации и принципа сжимающих отображений, а также метода монотонных операторов доказаны существование и единственность их решения. Доказано сходимость метода последовательных приближений решения нелинейной ТТРС. Разработана эффективная алгоритмическая реализация ТТРС и точных краевых условий третьего рода на неравномерной сетке через ТРС и разностные краевые условия ранга ( — целое положительное, — целая часть). Предложенные ТРС ранга для своего построения требуют для каждого узла сетки решения двух нелинейных и двух линейных задач Коши на отрезках (вперед) и (назад), что осуществляется за один шаг при помощи любого одношагового метода: разложения в ряд Тейлора или Рунге–Кутта порядка точности . Используя метод линеаризации и принцип сжимающих отображений, а также метод монотонных операторов, доказано существование и единственность решения усеченных ТРС ранга . Кроме того, показано, что эти схемы имеют порядок точности как по отношению к функции , так и для ее потока в узлах сетки. Отметим, что необходимость использования двух методов исследования ТРС связана с тем, что при условиях, которые вытекают из принципа сжимающих отображений ТРС порядка точности можно использовать лишь для задач с малыми постоянными Липшица, тогда как в случае метода монотонных операторов такие схемы можно использовать и для задач с большими постоянным Липшица. Доказано также сходимость и получена оценка точности методов последовательных приближений и Ньютона решения ТРС порядка точности . Разработанные ТРС высокого порядка точности апробированы на ряде численных экспериментов. Полученные результаты подтверждают теоретические обоснования и показывают высокую эффективность этих схем для численного решения краевых задач для нелинейных ОДУ. В третьей главе доказано существование точной двухточечной разностной схемы (ТДРС) для системы нелинейных ОДУ первого порядка с неразделенными краевыми условиями, существование и единственность ее решения, а также сходимость метода последовательных приближений. Разработано эффективную алгоритмическую реализацию ТДРС через усеченные ДРС го ранга, которая не требует вычисления фундаментальной матрицы. Для построения разностной схемы го ранга в каждом узле, неравномерной сетки необходимо решить задачу Коши для системы нелинейных ОДУ на отрезке. Задачи Коши решаются при помощи любого одношагового метода –го порядка точности (разложения в ряд Тейлора или Рунге–Кутта). Доказано существование и единственность решения усеченной ДРС го ранга, а также показано, что она имеет й порядок точности. Для вычисления решения двухточечной нелинейной разностной схемы использовался метод последовательных приближений или метод Ньютона. Предложенный подход успешно применялся для решения периодических краевых задач, краевых задач для жестких систем ОДУ и задач с малым параметром, не используя при этом “дорогих” методов решения жестких задач Коши. На численных примерах проведено сравнение с методом многоразовой стрельбы, результаты которого подтверждают высокую эффективность разработанных в этом разделе ДРС. В главе 4 построено ТТРС на неравномерной сетке для систем нелинейных ОДУ второго порядка с краевыми условиями первого рода. С помощью метода монотонных операторов доказано существование и единственность решения ТТРС, а также сходимость метода простой итерации для вычисления ее решения. Для определения вектора правой части ТТРС в произвольном узле сетки необходимо решить две вспомогательные задачи Коши для системы нелинейных ОДУ и две матричные линейные задачи Коши на отрезках (вперед) и (назад). Каждая из задач Коши решается за один шаг одношаговым методом (разложения в ряд Тейлора или Рунге Кутта) порядка точности ( —целая часть). В результате получена реализация ТТРС через усеченные ТРС ранга , для которой доказано, что она имеет порядок точности . Построено приближение потока в узлах сетки, точность которого такая же как и точность решения , т.е. равна . Доказано существование и единственность решения усеченной ТРС ранга , а также сходимость методов простой итерации и Ньютона вычисления ее решения. Предложенные в этом разделе ТРС в отличие от ДРС из предыдущего раздела обоснованы и могут использоваться для задач с монотонным оператором и большими константами Липшица. Проведены численные эксперименты для задач с большими константами Липшица, которые подтверждают теоретические выводы. В пятой главе для нелинейной краевой задачи на полуоси построено ТТРС на конечной неравномерной сетке. При этом здесь сконструировано точное нелинейное краевое условие на правом граничном конце сетки. Предложена реализация ТТРС через усеченные ТРС ранга. Доказана теорема о существовании и единственности решения ТРС и дана оценка скорости ее сходимости. Показано, что скорость сходимости ТРС ранга является величиной. Предложено новый эффективный алгоритм численного решения краевых задач на полуоси с заданной точностью и автоматическим выбором сетки. Проведены численные эксперименты, которые подтверждают теоретические выводы. The dissertation is concerned with the construction and justification of the compact difference schemes of high accuracy order for nonlinear boundary value problems on finite intervals and half axis for ordinary differential equations. Since the problems and difference schemes are nonlinear, our analysis is based on the linearization method and the principle of contraction maps and method of monotone operators. Exact compact difference schemes are constructed. In order to find of the coefficients and right hand side of an exact compact difference schemes at an arbitrary node of the grid auxiliary initial value problems for ordinary differential equations on the interval by length of one step should be solved. Existence and uniqueness of the solution of this schemes and convergence of fixed point iteration for its numerical solution are proved. The effective implementations of the exact compact difference schemes in terms of so called truncated compact difference schemes are developed. The convergence of iteration methods (fixed point iteration, Newton’s iteration) for its numerical solution are proved. Effectiveness of proposed approaches is illustrated on the numerical examples.