Several families of new exact solutions for second order partial differential equations with variable coefficients

Abstract

У цій статті виведено декілька сімейств нових точних розв’язків загального лінійного рівняння в частинних похідних другого порядку зі змінними коефіцієнтами. Отримано всі можливі поліноміальні та поліноміоподібні розв’язки цього рівняння. Показано, що існує точно дві множини таких сімейств точних розв’язків. Ці розв’язки розширено для побудови різних сімейств точних розв’язків у термінах гіпергеометричних функцій, які включають поліноміальні розв’язки як окремі випадки. Всього вісім сімейств точних розв’язків отримано за допомогою нового методу одночасного балансування степеней змінних. Декілька добре відомих лінійних диференціальних рівнянь із частковими похідними в прикладній математиці та механіці є окремими випадками загального рівняння, розглянутого в цій статті, і всі поліноміальні та поліноміоподібні розв’язки цих рівнянь із частковими похідними також явно виведені як часткові випадки.

Several families of new exact solutions for a general second order linear partial differential equation with variable coefficients are derived in this paper. All the possible polynomial and polynomial-like solutions of this equation are derived. It is shown that there exist exactly two sets of such families of exact solutions. These solutions are extended to construct different families of exact solutions in terms of hypergeometric functions, which include polynomial solutions as particular cases. A total of eight families of exact solutions are derived using a novel method of balancing powers of the variables simultaneously. Several well known linear partial differential equations in applied mathematics and mechanics are special cases of the general equation considered in this paper and all the polynomial and polynomial-like solutions of these partial differential equations are also explicitly derived as special cases.