Mathematical Modeling And Computing. – 2019. – Vol. 6, No. 2
Permanent URI for this collection
Науковий журнал
Засновник і видавець Національний університет «Львівська політехніка», Центр математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача НАН України. Виходить двічі на рік з 2014 року.
Mathematical Modeling and Сomputing : [the scientific-technical journal] / Lviv Politechnic National University, Centre of mathematical Modeling of IAPMM hamed after Ya. S. Pidstryhach Ukrainian National Academy of Sciences ; editor-in-chief Yuriy Bobalo. – Lviv, 2019. – Volume 6, number 2. – 250 p. : il.
Browse
Recent Submissions
Item Synthesis of two-dimensional antenna arrays by the method of generalized separation of variables(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Yaroshko S. M.; Yaroshko S. A.; Ярошко С. М.; Ярошко С. А.The method of generalized separation of variables is used to solve the problem of synthesis of antenna array with given form according to a given amplitude radiation pattern. An approximate solution obtained as a sum of terms with separated indexes. Such terms are calculated successively one by one at each step of the method from the condition of minimum of the corresponding functional. The minimization problem is reduced to the problem of solving the system of non-linear algebraic equations. General approaches of the method are specified for the cases of flat rectangular, flat hexagonal and cylindrical arrays. Proper attention has been paid to building effective computing procedures. The numerical results of solving several model problems are given. It is shown that the method allows us to get a satisfactory solution from a practical point of view in two to three steps. Метод узагальненого роздiлення змiнних застосовано для розв’язування задач синтезу двовимiрних антенних ґраток заданої форми за заданими амплiтудними дiаграмами напрямленостi. Наближений розв’язок шукають у виглядi суми доданкiв iз роздiленими iндексами. Такi доданки знаходять послiдовно, по одному на кожному кроцi методу з умови мiнiмуму вiдповiдного функцiонала. Задачу мiнiмiзацiї зведено до задачi розв’язування нелiнiйної системи алгебричних рiвнянь. Загальнi пiдходи методу конкретизовано для випадкiв плоских прямокутних, плоских гексагональних i цилiндричних ґраток. Належну увагу придiлено побудовi ефективних обчислювальних процедур. Наведено числовi результати розв’язування декiлькох модельних задач. Показано, що метод дає змогу отримати задовiльний з практичного погляду наближений розв’язок за два–три кроки.Item Asymptotic solutions of soliton type of the Korteweg–de Vries equation with variable coefficients and singular perturbation(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Samoilenko V. H.; Samoilenko Yu. I.; Limarchenko V. O.; Vovk V. S.; Zaitseva K. S.; Самойленко В. Г.; Самойленко Ю. I.; Лимарченко В. О.; Вовк В. С.; Зайцева К. С.The paper deals with the singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients. The equation describes wave processes in various inhomogeneous media with variable characteristics and small dispersion. We consider the general algorithm of construction of asymptotic solutions of soliton type to the equation and present its approximate solutions of this type. We analyze properties of the constructed asymptotic solution depending on a small parameter. The results are demonstrated by the examples of the studied equation. We show that for an adequate description of qualitative properties of soliton type solutions to the singularly perturbed KdV equation with variable coefficients it is necessary to construct at least the first asymptotic approximation, that is, expansion containing both the main and the first term. У статтi розглянуто сингулярно збурене рiвняння Кортевега–де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами, яке описує хвильовi процеси в рiзних неоднорiдних середовищах зi змiнними характеристиками та малою дисперсiєю. Розглянуто загальний алгоритм побудови асимптотичних розв’язкiв солiтонного типу i подано такi розв’язки для цього рiвняння. Проаналiзовано властивостi побудованого асимптотичного розв’язку залежно вiд малого параметра. Результати продемонстровано на прикладах. Показано, що для адекватного опису якiсних властивостей асимптотичного розв’язку солiтонного типу для сингулярно збуреного рiвняння Кортевега–де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами необхiдно будувати щонайменше перше асимптотичне наближення, тобто розклад, що мiстить як головний, так i перший члени асимптотики.Item Functionally gradient isotropic cylindrical shell locally heated by heat sources(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Musii R. S.; Zhydyk U. V.; Mokryk O. Yа.; Melnyk N. B.; Мусiй Р. С.; Жидик У. В.; Мокрик О. Я.; Мельник Н. Б.The stress-strain state of a functionally gradient isotropic thin circular cylindrical shell under local heating by a flat heat source has been investigated. For this purpose, a mathematical model of the classical theory of inhomogeneous shells has been used. A two-dimensional heat equation is derived under the condition of a linear dependence of the temperature on the transverse coordinate. The solutions of the non-stationary heat conduction problem and the quasi-static thermoelasticity problem for a finite closed cylindrical pivotally supported shell have been obtained by means of methods of Fourier and Laplace integral transforms. Numerical results are presented for the metal–ceramic composite used to restore the integrity of human tooth crowns. Дослiджено напружено-деформований стан функцiонально-градiєнтної iзотропної кругової тонкої цилiндричної оболонки за локального нагрiвання плоским джерелом тепла. Для цього використано математичну модель класичної теорiї неоднорiдних оболонок. Двовимiрне рiвняння теплопровiдностi виведено за умови лiнiйної залежностi температури вiд поперечної координати. Методами iнтегральних перетворень Фур’є i Лапласа знайдено розв’язок нестацiонарної задачi теплопровiдностi та квазiстатичної задачi термопружностi для скiнченної шарнiрно опертої замкненої цилiндричної оболонки. Числовi результати наведено для композиту метал–керамiка, що використовується для вiдновлення цiлiсностi коронок зубiв людини.Item Extending the application domain of the model order reduction method in calculating the electrostatic field(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Mochurad L. I.; Мочурад Л. I.A problem of determining the electrostatic field formed by a set of charged electrodes has been considered. The details of the approximate solving of the Dirichlet problem havebeen given for the Laplace’s equation in a substantially spatial formulation based on the use of the model order reduction method. The mathematical models have been improved and the problem of calculating the electrostatic field has been simplified, taking into account the present symmetry of electrodes positioning in electronic optics systems. For the eighth-order abstract group, three independent structures of the corresponding class of systems have been identified. The application domain of the model order reduction method based on finite-group theory for numerically solving integral equations has been extended by transforming the initial boundary-value problem not containing symmetrygroups into two problems. The boundary surface of one of them has a finite symmetry group and the other allows for a sufficiently simple numerical solution. This simplification of the problem is aimed at improving the accuracy of computational methods, eliminating sources of instability of these methods, and speeding up computations. To confirm the efficiency of the proposed algorithm, a model problem of calculating the electrostatic field of a quadrupole lens has been considered. The example of its solving demonstrates all the advantages of the developed computational algorithm. A number of numerical experiments have been conducted. The electrostatic field of the corresponding planar approximations has been calculated to verify the validity of the obtained results. Розглянуто проблему визначення електростатичного поля, утвореного сукупнiстю заряджених електродiв. Наведено деталi наближеного розв’язування задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в суттєво просторовому формулюваннi на основi використання методу редукцiї порядку моделi. Удосконалено математичнi моделi та спрощено задачу розрахунку електростатичного поля з урахуванням симетрiї розташування електродiв у системах електронної оптики. Для абстрактної групи восьмого порядку видiлено три незалежнi структури вiдповiдного класу систем. Розширено область використання методу редукцiї порядку моделi на основi теорiї скiнченних груп у разi чисельного розв’язування iнтегральних рiвнянь зведенням вихiдної крайової задачi, яка не мiстить групи симетрiї, до двох. Гранична поверхня однiєї з них володiє скiнченною групою симетрiї, а друга допускає достатньо просте чисельне розв’язування. Таке спрощення задачi спрямоване на пiдвищення точностi обчислювальних методiв, усунення джерел нестiйкостi цих методiв та пришвидшення обчислень. Для пiдтвердження дiєвостi запропонованого алгоритму розглянуто модельну задачу розрахунку електростатичного поля квадрупольної лiнзи. На прикладi ї ї розв’язування продемонстровано усi переваги розробленого обчислювального алгоритму. Проведено чисельнi експерименти. Для перевiрки достовiрностi отриманих результатiв розраховано електростатичне поле вiдповiдних плоских наближень.Item Improvement of variational-gradient method in dynamical systems of automated control for integro-differential models(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Mashkov O. A.; Sobchuk V. V.; Barabash O. V.; Dakhno N. B.; Shevchenko H. V.; Maisak T. V.; Машков О. А.; Собчук В. В.; Барабаш О. В.; Дахно Н. Б.; Шевченко Г. В.; Майсак Т. В.The dynamical systems given by integro-differentiation models with K-symmetric K-positive-definite operator are considered. The variational-gradient method was applied to those models. The analysis showed that the implementation of this method does not require knowledge of the operator spectrum, in addition, it has a better convergence rate and is more resistant to disturbances than gradient methods. The theorem is proved in this paper, which allows us to draw conclusions about the effectiveness of the application of the variational-gradient method for the research of control problems. Investigation of an integro-differential model with a K-positive-definite K-symmetric operator using the variational-gradient method will increase the efficiency of information processing in the processes of control and research of dynamic systems. Application of the variationalgradient method to the control tasks will allow expanding the range of tasks under consideration. It is noted that the development of modern technologies entails an increase in the complexity of control objects, an increase in the quality requirements and the accuracy of control due to the increase in the cost of control error. This makes to be essential further development and improvement of methods that solve the problems of optimal control, for example, unmanned aerial vehicles. As the model example, the application of the variational-gradient method to the models of automated control systems for unmanned aerial vehicles is considered. Розглянуто динамiчнi системи, що заданi iнтегро-диферецiйними моделями з K-симетричним K-позитивно визначеним оператором. До зазначених моделей застосовано варiацiйно-градiєнтний метод. Проведений аналiз показав, що для реалiзацiї цього методу не потрiбно знання спектра оператора, крiм того, у нього вища швид- кiсть збiжностi та стiйкiсть до збурень порiвняно з градiєнтними методами. В роботi доведено теорему, яка дає змогу зробити висновки про ефективнiсть застосування варiацiйно-градiєнтного методу для дослiдження завдань управлiння. Дослiдження iнтегро-диференцiйної моделi з K-позитивно визначеним K-симетричним оператором за допомогою варiацiйно-градiєнтного методу дозволить пiдвищити оперативнiсть опрацювання iнформацiї в процесах управлiння i дослiдження динамiчних систем. Застосування варiацiйно-градiєнтного методу до задач управлiння розширить коло задач, що розглядаються. Оскiльки розвиток сучасних технологiй спричинює зростання складностi об’єктiв управлiння, пiдвищення вимог до якостi й точностi управлiння внаслiдок зростання цiни управлiнської помилки, необхiднi подальший розвиток та удосконалення методiв, якi вирiшують завдання оптимального управлiння, наприклад, безпiлотними лiтальними апаратами. На модельному прикладi розглянуто застосування варiацiйно-градiєнтного методу до моделей систем автоматизованого управлiння безпiлотними лiтальними апаратами.Item Consensus control of multi-agent systems with input delays: a descriptor model approach(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Lyubchyk L. M.; Dorofieiev Y. I.; Любчик Л. М.; Дорофєєв Ю. I.This paper addresses the consensus control design for multi-agent systems with input time delay, which is unknown but bounded. Descriptor transformation is used to obtain a model without delay for closed-loop individual agent. The sufficient conditions for global consensus under directed communication topology are identified using Lyapunov–Krasovskii functional. To analyze the stability of the networked multi-agent system based on the relationship between the agents, the Lyapunov function method using corresponding comparison system is used. The effectiveness of the proposed control design method is demonstrated by a numerical simulation example. У статтi розглянуто задачу консенсусного керування мультиагентними системами iз запiзнюваннями на входi, якi є невiдомими, але обмеженими. Дескрипторне перетворення використовується для отримання моделi замкнутого локального агента без запiзнювань. За допомогою функцiонала Ляпунова–Красовського визначено достатнi умови досягнення глобального консенсусу в системi, де взаємодiя мiж агентами вiдповiдає заданiй топологiї. Для аналiзу стiйкостi мережi взаємозв‘язаних агентiв використано метод функцiй Ляпунова, побудувавши вiдповiдну систему порiвняння. Ефективнiсть запропонованого методу синтезу керування продемонстровано за допомогою чисельних прикладiв.Item An estimation accuracy of state observers under uncertain initial conditions(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Lozynskyy A. O.; Demkiv L. I.; Vantsevich V. V.; Borovets T. V.; Gorsich D. J.; Лозинський A. O.; Демкiв Л. I.; Ванцевич В. В.; Боровець Т. В.; Горсiч Д. Д.A fast convergence speed of an observer helps improve the capability to track the states of a system for an arbitrary divergence between a real and an estimated initial conditions. This property of the observers is significantly useful if a system has fast dynamics and its states change rapidly. Thus, the convergence time is one of the main performance criteria of linear and non-linear state observers. This article presents a comparative analysis of observers for both linear and nonlinear systems in terms of the time of convergence of the observers. The following observers was chosen for this study: the Kalman filter (KF), extended Kalman filter (EKF), unscented Kalman filter (UKF), particle filter (PF), Luenberger observer (LO), and fuzzy-based Luenberger observer (Fuzzy-LO). The listed observers were studied using a non-linear mathematical model of an open-link locomotion module, which movements were studied in stochastic terrain conditions. The mathematical model was then simplified and simulated as a linear model with the purpose to estimate the efficiency of the linear observers. The Fuzzy-LO with an adaptive gain to the estimation error gives better results than the LO, especially in steady states. The PF with a simple Gaussian distribution provides a lower convergence speed than the KF, EKF, and UKF. To faster the convergence of the PF, a novel approach, PF*, that utilizes mixture probability density function of the distribution of initial particles was introduced in the article. Швидка збiжнiсть спостерiгача забезпечує можливiсть вiдстежувати стани системи для довiльного розузгодження мiж реальними та заданими початковими умовами. Така властивiсть спостерiгача особливо необхiдна, якщо система має швидку динамiку, а ї ї стани швидко змiнюються. Отже, час збiжностi є одним iз головних критерiїв вибору спостерiгачiв як для лiнiйних, так i для нелiнiйних систем. У цiй роботi подано порiвняльний аналiз спостерiгачiв для лiнiйних i нелiнiйних сис- тем з погляду часу збiжностi. На основi аналiзу лiтературних джерел для цього дослiдження вибранi такi спостерiгачi: фiльтр Калмана (KF), розширений фiльтр Калмана (EKF), -точковий фiльтр Калмана (UKF), фiльтр частинок (PF), спостерiгач Люенбергера (LO) та нечiткий спостерiгач Люенбергера (Fuzzy-LО). Перелiчених спостерiгачiв дослiджували на нелiнiйнiй математичнiй моделi модуля руху, який описує рух однiєї четвертої частини електромобiля в умовах стохастичного рельєфу. З метою оцiнки ефективностi лiнiйних спостерiгачiв математичну модель спростили до лiнiйної, нехтуючи усiма нелiнiйностями. Математичним моделюванням було встановлено, що Fuzzy-LO з адаптивним налаштуванням коефiцiєнтiв матрицi спостерiгача дає кращi результати, нiж традицiйний LO, особливо в усталених режимах. PF з початковим гауссiвським розподiлом точок простору стану системи забезпечує повiльнiшу швидкодiю спостерiгача, нiж KF, EKF та UKF. З метою пiдвищення швидкодiї PF, у роботi запропоновано новий алгоритм PF*, в якому використано сумiш гауссiвських розподiлiв для початкової генерацiї точок. Покращений алгоритм фiльтра частинок PF* забезпечив найшвидшу динамiку збiжностi оцiнених станiв динамiчної системи до значень станiв реальної системи порiвняно iз роглянутими спостерiгачами.Item Mathematical modeling of the heating process in a vortex tube at the gas distribution stations(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Labay V. Y.; Savchenko O. O.; Zhelykh V. M.; Kozak Kh. R.; Лабай В. Й.; Савченко О. О.; Желих В. М.; Козак Х. Р.In all sectors of the national economy of Ukraine, issues of energy efficiency and saving of fuel and energy resources are important. Legislative changes in the branches and scientific developments of scientists allow reducing the energy dependence of Ukraine on imported fuels. One of the energy-saving measures for the transportation of natural gas is the use of a vortex tube for heating natural gas at gas distribution stations. Natural gas is heated before the process of reducing it in the gas pressure regulator to prevent the formation ofcrystalline hydrates within the gas pressure regulator. The complexity of the implementation of such a measure is the explosion of the fire hazard of natural gas, which makes it impossible to conduct a sufficient number of experimental studies to determine the required characteristics of the vortex tube for operation at the gas distribution station. Therefore, for the wide introduction of a vortex tube at gas distribution stations, a generalized mathematical model should be developed that would allow describing the process of heating the vortex tube of a working gas with different thermophysical parameters. In this paper, the thermodynamic and physical bases of the process of heating the compressed gases in the vortex tube are considered and the main parameters that influence the operation of the vortex tube are determined. The mathematical model of the process of heating the natural gas in a vortex tube is scientifically substantiated and improved. To improve the mathematical model of the natural gas heating process in the vortex tube, loss of dynamic pressure was determined on each characteristic section of the vortex tube and the degree of heating therein. Moreover, the mathematical model proposed by the authors allows us to determine the thermal power of the vortex tube and the amount of heat needed to heat the working gas in the vortex tube. У всiх галузях народного господарства України важливе мiсце займають питання енергоефективностi та економiї паливно-енергетичних ресурсiв. Законодавчi змiни у галузях та науковi розробки вчених дозволяють зменшити енергетичну залежнiсть України вiд iмпортного палива. Одним iз енергоощадних заходiв пiд час транспортування природного газу є використання вихрової труби для нагрiвання природного газу на газорозподiльних станцiях. Природний газ нагрiвають перед процесом його редукування у регуляторi тиску газу щоб запобiгти утворенню кристалогiдратiв всерединi регулятора тиску газу. Складнiсть впровадження такого заходу полягає у вибухо- та пожежонебезпечностi природного газу, що унеможливлює проведення достатньої кiлькостi експериментальних дослiджень для визначення необхiдних характеристик вихрової труби для роботи на газорозподiльнiй станцiї. Тому для широкого впровадження вихрової труби на газорозподiльних станцiях необхiдно розробити узагальнену математичну модель, яка би дала змогу описати процес нагрiвання у вихро- вiй трубi робочого тiла з рiзними теплофiзичними параметрами. У статтi розглянуто термодинамiчнi та фiзичнi основи процесу нагрiвання стиснених газiв у вихровiй трубi та визначено основнi показники, якi впливають на роботу вихрової труби. Науково обґрунтовано та удосконалено математичну модель процесу нагрiвання природного газу у вихровiй трубi. Для удосконалення математичної моделi нагрiвання природного газу у вихровiй трубi визначено втрати динамiчного тиску на кожнiй характернiй дiлянцi вихрової труби та ступiнь нагрiвання в нiй. Разом з тим запропонована мате- матична модель дає змогу визначити теплову потужнiсть вихрової труби та кiлькiсть теплоти, необхiдної для нагрiвання робочого тiла у вихровiй трубi.Item Economic and mathematical modeling of the distribution of financial resources for research and development(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Kuzmin О. Ye.; Tsehelyk G. G.; Yastrubskyy М. Ya.; Кузьмiн О. Є.; Цегелик Г. Г.; Яструбський М. Я.The authors constructed an economic-mathematical model of optimal allocation of financialresources for research and development using the mechanism of dynamic programming. In the conditional example, the authors calculated the allocation of budget funds using the method of dynamic programming. In order to evaluate the prospects of applying the proposed model, the authors analyzed the current state of funding for research and development and considered the positive foreign experience. The expediency of using the proposed model in domestic practice is substantiated. dynamic programming, scientific research, financial resources, budgetary resources, science development strategy. Побудовано економiко-математичну модель оптимального розподiлу фiнансових ресурсiв на науковi дослiдження i розробки з використанням механiзму динамiчного програмування. На умовному прикладi здiйснено розрахунок розподiлу бюджетних коштiв з використанням методу динамiчного програмування. З метою оцiнки перспектив застосування запропонованої моделi проаналiзовано стан фiнансування наукових дослiджень i розробок та розглянуто позитивний зарубiжний досвiд. Обґрунтовано доцiльнiсть використання запропонованої моделi у вiтчизнянiй практицi.Item Influence of the electroneutrality of a metal layer on the plasmon spectrum in dielectric–metal–dielectric structures(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Kostrobij P. P.; Markovych B. M.; Polovyi V. Ye.; Костробiй П. П.; Маркович Б. М.; Польовий В. Є.In this paper, we propose a model that allows us to investigate the influence of quantum size effects and the electroneutrality condition on the spectrum of SPPs waves as a function of metal thickness in heterogeneous dielectric/metal/dielectric structures. It is shown that for ultrathin metal layers, the spectrum of plasmon waves has oscillatory behavior in the domain of small wave vectors (k ≈ 0.05−0.2 nm−1). The amplitude of oscillations depends on the conditions of electroneutrality for the dielectric/metal/dielectric structure. surface plasmon, plasmon spectrum, metal layer thickness, dielectric permittivity, electroneutrality. У роботi запропоновано модель, яка дає змогу дослiдити вплив квантоворозмiрних ефектiв та умови електронейтральностi на спектр SPPs хвиль як функцiї товщини металу в гетерогенних структурах “дiелектрик–метал–дiелектрик”. Показано, що для надтонких металевих прошаркiв спектр плазмонних хвиль проявляє осциляцiйну поведiнку в областi малих хвильових векторiв (k ≈ 0.05 − 0.2 нм−1). Амплiтуда осциляцiй залежить вiд умов електронейтральностi для структури “дiелектрик–метал–дiелектрик”.Item Generalized kinetic equation with spatio-temporal nonlocality(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Kostrobij P. P.; Markovych B. M.; Ryzha I. A.; Tokarchuk M. V.; Костробiй П. П.; Маркович Б. М.; Рижа I. А.; Токарчук М. В.A non-Markov kinetic equation with fractional derivatives for a nonequilibrium oneparticle distribution function is obtained. The resulting equation contains the generalized diffusion and friction coefficients in the space of coordinates and momentums of particles. This equation can be used, in particular, for mathematical modeling of kinetic processes of particle transport in porous media with fractal structure. Отримано немарковське кiнетичне рiвняння у дробових похiдних для нерiвноважної одночастинкової функцiї розподiлу частинок. Отримане рiвняння мiстить узагальненi коефiцiєнти дифузiї i тертя у просторi координат та iмпульсiв частинок, це рiвняння може бути використане, зокрема, для математичного моделювання кiнетичних процесiв переносу частинок у пористих середовищах з фрактальною структурою.Item Covariance characteristics of narrowband periodically non-stationary random signals(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Javorskyj I. M.; Kurapov P. R.; Yuzefovych R. M.; Яворський I. М.; Курапов П. Р.; Юзефович Р. М.Hilbert transform of a narrowband periodically non-stationary random signal (PNRS) is considered. The relations for the covariance components of PNRS and its Hilbert transform are obtained. The dependencies of the covariance properties of Hilbert transform on covariance damping coefficients of modulating processes are analyzed on the basis of the simulated realizations. Розглянуто перетворення Гiльберта вузькосмугових перiодично корельованих сигналiв. Отримано спiвiдношення, що описують зв’язок мiж кореляцiйними компонентами сигналу та компонентами його перетворення Гiльберта. На основi симульованих реалiзацiй проаналiзовано залежнiсть кореляцiйної функцiї перетворення Гiльберта вiд декремента загасання кореляцiйного зв’язку модулюючих процесiв.Item Analysis of measurement systems mathematical models by using the comparison of functions(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Ilkiv V. S.; Nytrebych Z. M.; Pukach P. Ya.; Kohut I. V.; Pakholok B. B.; Iлькiв В. С.; Нитребич З. М.; Пукач П. Я.; Когут I. В.; Пахолок Б. Б.We propose an approach to mathematical modeling for a system on the basis of comparing scalar products in spaces of real functions integrable on the segment. This approach may be used in discrete and continuous measurement systems and some combinatorial systems, in which comparison problem of function exists in the process of synthesis and optimal choice of their parameters. In theory, such problems are characteristic of boundary value problems for equations of mathematical physics, in particular for multi-point problems that describe oscillatory processes in mechanisms. We have found the necessary and sufficientconditions for such a comparison. We use special transformations of sums and integralsthat appear in the corresponding scalar products for vectors and functions. У роботi запропоновано пiдхiд до математичного моделювання систем на основi порiвняння скалярних добуткiв у просторах, iнтегровних на вiдрiзку дiйсних функцiй. Цей пiдхiд можна використовувати у дискретних i неперервних системах вимiрювання та деяких комбiнаторних системах у процесi синтезу та оптимального вибору їх параметрiв, де постає задача порiвняння функцiй. Теоретично такi задачi характернi також для крайових задач для рiвнянь математичної фiзики, зокрема для багатоточкових задач, якi описують коливнi процеси у механiзмах. Знайдено необхiднi й достатнi умови такого порiвняння. Використано спецiальнi перетворення сум та iнтегралiв, якi входять у вiдповiднi скалярнi добутки для векторiв та функцiй.Item The Scheffe’s method in the study of mathematical model of the polymeric hydrogels composite structures optimization(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Grytsenko O. M.; Pukach P. Ya.; Suberlyak O. V.; Moravskyi V. S.; Kovalchuk R. А.; Berezhnyy B. V.; Гриценко О. М.; Пукач П. Я.; Суберляк О. В.; Моравський В. С.; Ковальчук Р. А.; Бережний Б. В.Mathematical modeling of 2-hydroxyethylmethacrylate with polyvinylpyrrolidone copolymerization process according to technological parameters of the exothermic reaction has been carried out by Scheffe’s simplex-lattice planning method. Optimization of polymer monomer composition formula has been carried out and the regression equations of the main parameters of exothermic polymerization gelation time, the duration of the gel effect area, and the maximum temperature of the exotherm have been obtained. Using the mathematical model obtained, the content of the initial composition has been defined. The exothermic effects of such initial composition polymerization provide the optimal technological parameters of metal ions reduction stage during polymerization. Методом симплекс–ґраткового планування Шеффе здiйснено математичне моделювання процесу кополiмеризацiї 2-гiдроксiетилметакрилату з полiвiнiлпiролiдоном за технологiчними параметрами екзотермiї реакцiї. Здiйснено оптимiзацiю складу полiмер-мономерної композицiї та одержано рiвняння регресiї основних параметрiв процесу екзотермiї полiмеризацiї часу початку гелеутворення, тривалостi областi гель–ефекту, максимальної температури екзотермiї. З використанням одержаної математичної моделi встановлено вмiст вихiдної композицiї, екзотермiчнi ефекти процесу полiмеризацiї якої забезпечують оптимальнi технологiчнi параметри стадiї вiдновлення йонiв металiв пiд час полiмеризацiї.Item On representation of the internal spherical functions and their derivatives in the planetary coordinate system(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Fys M. M.; Brydun A. M.; Yurkiv M. I.; Фис М. М.; Бридун А. М.; Юркiв М. I.The expressions of spherical functions and their derivatives in a Cartesian coordinate system are obtained. In opposite to the representation of polynomials in a spherical coordinate system, the derived recurrence relations make it possible to use them in the description of physical processes, and the obtained formulae for derivatives of spherical functions within the sphere allow obtaining the solutions to the problems of mathematical physics for spherical bodies in a Cartesian coordinate system. This approach has its advantages precisely in the applied problems. For example, for the determination of the artificial satellites orbits, it is necessary to represent the external potential of gravitation and its derivatives for the GPS systems in a Cartesian coordinate system. Investigation of the internal structure of Earth and astrometric studies of processes in galaxies are associated with the study of internal potential, and, consequently, there is a necessity for its presentation in the Cartesian coordinates. Отримано вирази для сферичних функцiй та їх похiдних у прямокутнiй системi координат. На противагу запису многочленiв у сферичнiй системi координат, виведенi рекурентнi спiввiдношення дають змогу використовувати їх в описi фiзичних процесiв у декартовiй системi координат, а виведенi формули для похiдних кульових функцiй всерединi кулi дозволяють застосовувати їх для отримання розв’язкiв у прямокутнiй системi координат задач математичної фiзики для тiл кульової форми. В прикладних задачах такий пiдхiд має свої переваги. Наприклад, для визначення руху штучних супутникiв (їх орбiт) необхiдно подати зовнiшнiй потенцiал притягання та його похiднi для систем GPS у прямокутнiй системi координат. З iншого боку, астрометричнi дослiдження процесiв у галактиках та внутрiшньої будови Землi пов’язанi з вивченням внутрiшнього потенцiалу, отже, виникає потреба його подання в прямокутнiй системi координат.Item Numerical analysis of heterogeneous mathematical model of elastic body with thin inclusion by combined BEM and FEM(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Dyyak I. I.; Rubino B.; Savula Ya. H.; Styahar A. O.; Дияк I. I.; Рубiно Б.; Савула Я. Г.; Стягар А. О.This article dwells upon the multiscale elastic structures consisting of matrix medium and thin coatings or inclusions. The matrix medium is described by the equations of classical elasticity theory, while Timoshenko shell theory is used for the description of the thin parts of the structure. On the interface between media, perfect contact conditions are assumed to hold. The coupled algorithm is developed, based on the boundary element method in the matrix part and on the high order finite element method in the thin parts of the structure. The two methods are coupled using a domain decomposition approach. Two numerical examples are considered to illustrate the proposed approach: a Girkmann-type problem and an elastic structure with a thin inclusion. The dependence of the displacement and the stress-strain state on the different shell shapes in. Статтю присвячено математичному моделюванню рiзномасштабних пружних конструкцiй, що складаються iз матрицi та тонких покриттiв або включень. Матрицю описано рiвняннями класичної теорiї пружностi, для опису тонких частин конструкцiї використано теорiю оболонок Тимошенка. На спiльнiй границi мiж середовищами задано iдеальнi умови контакту. Розроблено алгоритм на основi методу граничних елементiв у матрицi та методу скiнченних елементiв високого порядку в тонких частинах конструкцiї. Цi два методи поєднано за допомогою методу декомпозицiї областей. Для iлюстрацiї запропонованого пiдходу розглянуто два числовi приклади: задачу типу Гiркмана i задачу для пружного тiла з тонким включенням. У першому прикладi проаналiзовано залежнiсть перемiщень i напружено-деформованого стану вiд форми оболонки, у другому залежнiсть перемiщень вiд товщини включення.Item Numerical modeling transient processes in a long gas pipeline(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Chekurin V. F.; Khymko O. M.; Чекурiн В. Ф.; Химко О. М.Unsteady processes of isothermal natural gas flow, emerging in a long pipeline when there is switching-over from one stationary process to another stationary process, have been considered in this paper. The one-dimensional system of gas dynamics equations is used for that purpose. It includes equations for conservation of mass and momentum written relative to of dimensionless mass and flow densities. Three boundary-value problems formulated for this system define three models for control of the transient processes. The problems differ by the boundary (control) functions imposed at the ends of the gas pipeline. A unified model for the control functions is introduced. According to this model, such a function is defined by four real parameters. That restricts the class of control functions by the smooth ones monotonically varying from the value characteristic for the first stationary regime to the other one specific for the second stationary regime. The transient processes realized with the use of the models for various values of control parameters are analyzed numerically in this paper. Application of the considered mathematical models and obtained results of conducted case-studies for planning the transient regimes of pipelines operation are discussed in the paper. У статтi розглянуто нестацiонарнi процеси iзотермiчної течiї газу, що виникають у довгому трубопроводi пiд час його переходу з одного стацiонарного режиму на iнший. Дослiдження проведено з використанням одновимiрної моделi динамiки газу, в яку входять рiвняння збереження маси та iмпульсу газу, записанi вiдносно безрозмiрних густин маси та потоку. Для цiєї системи сформульовано три крайовi задачi, якi визначають три моделi керування перехiдними процесами. Задачi вiдрiзняються граничними функцiями, заданими на кiнцях трубопроводу. Запропоновано унiфiковану модель для функцiй керування. За цiєю моделлю будь-яка функцiя керування визначається чотирма дiйсними параметрами. Виконано чисельний аналiз перехiдних процесiв, з використанням рiзних моделей керування за рiзних значень параметрiв керування. У статтi розглянуто деякi можливостi застосування таких математичних моделей та результати проведених числових дослiджень для планування перехiдних режимiв роботи магiстральних газопроводiв.Item On a method of image reconstruction of anisotropic media using applied quasipotential tomographic data(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Bomba A. Ya.; Kuzlo M. T.; Michuta O. R.; Boichura M. V.; Бомба А. Я.; Кузло М. Т.; Мiчута О. Р.; Бойчура М. В.An algorithm for solving the coefficient problems of parameter identification of anisotropic media using applied quasipotential tomographic data is modified for the case of presence of more specific a priori information about the eigendirections of the corresponding conductivity tensor. Its application is quite common in practice, in particular, in medicine, where the object of such study may be the medium with fibrous or layered areas (which includes muscles, bones, etc.), inside which there are streams of non-spherical particles (e.g. red blood cells). As in our previous works, the corresponding algorithm is based on alternately solving the quasiconformal mapping and parameter identification problems, but in this work it is supplemented by the procedure of parallelization of calculations and the optimization problem is “accelerated”. The latter is characterized by a significant decrease in the number of intermediate calculations and, when imposing additional restrictions on eigendirections of the conductivity tensor, leads to the possibility of optimal adaptation of the algorithm to specific cases of practice. The results of numerical experiments of imitative restoration of medium structure are presented. Модифiковано алгоритм розв’язання коефiцiєнтних задач iдентифiкацiї параметрiв анiзотропних середовищ за даними томографiї прикладних квазiпотенцiалiв на випадок наявностi конкретнiшої апрiорної iнформацiї щодо власних напрямкiв вiдповiдного тензора провiдностi. Застосування доволi поширене на практицi, зокрема в медицинi об’єктом таких дослiджень можуть бути середовища iз дiлянками волокнистостi чи шаруватостi (до яких належать м’язи, кiстки тощо), в яких iснують потоки некулястих частинок (наприклад, еритроцитiв). В основу вiдповiдного алгоритму й надалi покладено почергове розв’язання задач на квазiконформнi вiдображення та iдентифiкацiю параметрiв, проте у цiй роботi його доповнено процедурою розпаралелення обчислень i “пришвидшено” задачу оптимiзацiї. Останнє характеризується значним зменшенням кiлькостi промiжних розрахункiв та, у разi накладання додаткових обмежень на власнi напрямки тензора провiдностi, приводить до можливостi оптимальної пристосовностi алгоритму до конкретних випадкiв практики. Наведено вiдповiднi результати числових експериментiв iмiтацiйного вiдновлення структури середовища.Item Semi-Markov reliability model of functioning of wireless telecommunication system with complex control system(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Bobalo Yu. Ya.; Horbatyi I. V.; Kiselychnyk M. D.; Medynsky I. P.; Melen M. V.; Бобало Ю. Я.; Горбатий I. В.; Кiселичник М. Д.; Мединський I. П.; Мелень М. В.A mathematical reliability model in the form of a semi-Markov process of failures and recoveries has been constructed for a high-reliability wireless telecommunication system with a complex control system. The main characteristics of this process have been obtained, as well as an analytical expression for estimation of the probability of retaining the system in an operable state. This expression depends on the parameters of the semi-Markov process, which are determined by the reliability characteristics of the controlled modules, of their control hardware and by the parameters of the used means of control of the correct functioning of the system under consideration. Для високонадiйної телекомунiкацiйної системи з комплексною системою контролю побудовано математичну надiйнiсну модель у виглядi напiвмарковського процесу вiдмов i вiдновлень, знайдено основнi характеристики цього процесу й отримано аналiтичний вираз, за допомогою якого можна оцiнити iмовiрнiсть перебування системи в працездатному станi. Цей вираз залежить вiд параметрiв напiвмарковськогопроцесу, якi визначаються через надiйнiснi характеристики контрольованих модулiв, їх апаратних засобiв контролю i параметри застосованих засобiв контролю правильностi функцiонування розглядуваної системи.Item Guaranteed recovery of unknown data from indirect noisy observations of their solutions on a finite system of points and intervals(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Nakonechnyi O. G.; Podlipenko Yu. K.; Наконечний О. Г.; Подлипенко Ю. К.We consider the Cauchy problem for the first-order linear systems of ordinary differential equations with unknown right-hand sides and initial conditions that are supposed to be subjected to some quadratic restrictions. From indirect noisy observations of their solutions on a finite system of points and intervals, we obtain the linear guaranteed mean square estimates of linear functionals on unknown data of the above-mentioned problems. It is established that if the correlation functions of observational errors are not known and belong to special sets, such estimates are expressed via solutions to some boundary value problems for linear systems of impulsive ordinary differential equations. Розглянуто задачу Кошi для лiнiйних систем звичайних диференцiальних рiвнянь першого порядку з невiдомими правими частинами i початковими умовами за припущення, що вони пiдпорядкованi деяким квадратичним обмеженням. За непрямими зашумленими спостереженнями їх розв’язкiв на скiнченнiй системi точок та iнтервалiв отримано лiнiйнi гарантованi середньоквадратичнi оцiнки лiнiйних функцiоналiв вiд невiдомих даних цих задач. Встановлено, що якщо невiдомi кореляцiйнi функцiї похибок у спостереженнях належать деяким спецiальним множинам, то такi оцiнки виражаються через розв’язки деяких крайових задач для лiнiйних систем iмпульсних звичайних диференцiальнх рiвнянь.