DDFV scheme for nonlinear parabolic reaction-diffusion problems on general meshes

Abstract

Ця стаття зосереджена на нелінійній анізотропній параболічній моделі вигляду ∂тС( u ) − ділення( Λ ∇ u ) + R ( u ) = f, де С,Р,ф, таΛ відповідно: дві нелінійні функції, член джерела та анізотропна тензорна дифузія. Для дискретизації простору розроблено різні типи схеми дискретної дуальності скінченного об'єму (DDFV), що призводять до позитивно визначених матриць жорсткості для члена дифузії. Використовується загальна сітка та розглядається жорсткий анізотропний тензор з розривними ефектами. Розроблено неявну часову схему, а також метод Ньютона-Рафсона для розв'язання результуючої нелінійної системи. Розроблено ітераційний інкрементальний підхід, що враховує ефекти анізотропії, розриву та нелінійності. Продуктивність представлених прямих та непрямих схем DDFV для різних сіток була продемонстрована різними числовими тестами. Також продемонстровано суперзбіжність у дискретних L2 та H1-нормахThis paper focuses on the nonlinear anisotropic parabolic model of the form ∂tC(u)−div(Λ∇u)+R(u)=f, where C, R, f, and Λ are respectively: two nonlinear functions, a source term and an anisotropic tensor diffusion. For space discretization, various types of the Discrete Duality Finite Volume (DDFV) scheme are elaborated leading to positive definite stiffness matrices for the diffusion term. A general mesh is used and hard anisotropic tensor with discontinuous effects is considered. An implicit time scheme is developed as well as the Newton–Raphson method to solve the resulting nonlinear system. An iterative incremental approach is elaborated handling the effects of anisotropy, discontinuity and non-linearity. The performance of the presented direct and indirect DDFV schemes for different meshes has been demonstrated by various numerical tests. A super-convergence in the discrete L2 and H1-norms is also demonstrated.