The behaviours of convergents in θ-expansions: computational insights based on θ-expansions algorithm using the Maple software

Abstract

Неперервні дроби природно виникають у діленні в стовпчик та теорії наближення дійсних чисел раціональними числами. У цьому дослідженні розглядається реалізація збіжним дробом θ-розвинення дійсних чисел x ∈ (0, θ) з 0 < θ < 1. Збіжні дроби θ-розвинення також називаються θ-збіжними дробами розвинення неперервних дробів. Метою цього дослідження є встановлення властивостей для сім’ї θ-збіжних дробів у θ-розвиненнях. Ідея виявлення поведінки θ-збіжного дробу виникла з концепції розширення регулярного неперервного дробу (RCF) і послідовностей, які є в θ-розвиненнях. Алгоритм θ-розвинення використовувався для обчислення значень θ-збіжних дробів за допомогою програмного забезпечення Maple. Це виявилося ефективним методом для швидкої комп’ютерної реалізації. Швидкість зростання θ-збіжного дробу була досліджена, щоб підкреслити ефективність θ-збіжної дробу. Аналіз θ-збіжного дробу виявив збіжні дроби, які дають краще наближення, в яких виникають менші похибки збіжності. У статті ретельно визначено поведінку θ-збіжного дробу, яка визначає, наскільки добре число x апроксимується своїми збіжними дробами для майже всіх ірраціональних чисел.Continued fractions arise naturally in long division and the theory of the approximation to real numbers by rational numbers. This research considered the implementation on the convergent of θ-expansions of real numbers of x ∈ (0, θ) with 0 < θ < 1. The convergent of θ-expansions are also called as θ-convergent of continued fraction expansions. This study aimed to establish the properties for a family of θ-convergent in θ-expansions. The idea of discovering the behaviours of θ-convergent evolved from the concept of regular continuedfraction (RCF) expansion and sequences involved in θ-expansions. The θ-expansions algorithmwas used to compute the values of θ-convergent with the help of Maple software. Consequently, it proved to be an efficient method for fast computer implementation. The growth rate of θ-convergent was investigated to highlight the performance of θ-convergent. The analysis on θ-convergent revealed the convergent that gives a better approximation yielding to fewer convergence errors. This whole paper thoroughly derived the behaviours of θ-convergent, which measure how well a number x is approximated by its convergents for almost all irrational numbers.