Inverse problems of determining an unknown coefficient depending on time for a parabolic equation with involution and anti-periodicity conditions

Abstract

Обернені задачі визначення невідомого залежно від часу коефіцієнта для параболічного рівняння з умовами інволюції та антиперіодичності. Методом розділення змінних побудовано розв’язок досліджуваної задачі з невідомим коефіцієнтом у рівнянні. Досліджено властивості індукованої спектральної задачі для диференціального рівняння другого порядку з інволюцією. Досліджено залежність спектра та його кратності, а також структуру системи кореневих функцій і часткових розв’язків задачі від інволютивної частини цього рівняння. Встановлено умови існування та єдиності розв’язку оберненої задачі. Для визначення шуканого коефіцієнта знайдено і розв’язано інтегральне рівняння Вольтера другого роду.Inverse problems of determining an unknown depending on time coefficient for a parabolic equation with involution and anti-periodicity conditions. The solution of the investigated problem with an unknown coefficient in the equation was constructed using the method of separation of variables. The properties of the induced spectral problem for the secondorder differential equation with involution are studied. The dependence of the spectrum and its multiplicity and the structure of the system of root functions and partial solutions to the problem on the involutive part of this equation was studied. The conditions for the existence and uniqueness of the solution to the inverse problem have been established. To determine the required coefficient, Voltaire’s integral equation of the second kind was found and solved.