Constructing solutions for two-dimensional quasi-static problems of thermomechanics in terms of stresses for bodies with plane-parallel boundaries

Abstract

Запропоновано методику побудови розв’язків двовимірних квазістатичних задач термомеханіки для тіл з плоскопаралельними границями. За вихідну вибрана система рівнянь плоскої квазістатичної задачі термопружності у напруженнях. Методика ґрунтується на апроксимації розподілу відмінних від нуля компонент тензора напружень потовщинній змінній тіла кубічними поліномами.Коефіцієнти апроксимаційних поліномів виражаються через інтегральні потовщинній змінній характеристики компонент тензора напружень та їх задані граничні значення на нижній і верхній основах тіла. У результаті вихідна двовимірна крайова задача на компоненти тензора напружень зведена до одновимірної крайової задачі на їх інтегральні характеристики. Для безмежного шару записано розв’язки одновимірної крайової задачі з використанням інтегрального перетворення Фур’є за поздовжньою координатою. У випадку смуги пластини для знаходження розв’язку використано скінчене інтегральне перетворення за поперечною координатою. Записано загальні розв’язки двовимірних крайових задач термомеханіки для розглядуваних тіл за наявності в них нестаціонарних об’ємних сил та температурного поля. Вирази шуканих компонент тензора напружень подано у вигляді згорток функцій, що описують задані граничні значення цих компонент на основах розглядуваних тіл, а також на торцевих перетинах у випадку смуги-пластини і функцій, що описують однорідні розв’язки одновимірних крайових задач на інтегральні характеристики компонент тензора напружень.A methodology to construct solutions for two-dimensional quasi-static thermomechanical problems for bodies with plane-parallel boundaries (2D-QS thermomechanical problems) is proposed. This approach begins with selecting equations for the plane quasi-static thermoelasticity problem in terms of stresses. The methodology approximates the distribution of non-zero stress tensor components through the body’s thickness using cubic polynomials, with coefficients expressed in terms of integral characteristics of the stress tensor components over the thickness variable and their specified boundary values on the body’s lower and upper surfaces. Consequently, the original two-dimensional boundary problem is simplified to a one-dimensional boundary problem for the integral characteristics. For an infinite layer, solutions are found using the Fourier transform along the longitudinal coordinate, while for a strip plate, a finite integral transformation is applied along the transverse coordinate. General solutions for 2D-QS thermomechanical problems are formulated for the selected bodies under non-stationary volume forces and temperature fields. The resulting expressions for the stress tensor components are presented as convolutions of functions representing the boundary values on the bases (and end cross-sections for strip-plates) and functions describing homogeneous solutions to the one-dimensional boundary problems for the integral characteristics of the stress tensor components.