Математичне моделювання функціональних залежностей фізичних величин із використанням неперервних і гладких мінімаксних сплайн-наближень

Abstract

The focus of the dissertation is modeling functional relationships using continuous and smooth minimax spline approximation. The theory of continuous and smooth minimax spline approximation, as well as methods and algorithms concerning realization of such spline approximation have been developed. The efficiency of application of that spline approximation in case of low temperature diode sensor’s characteristic and its sensitivity function is shown. For achieving the continuity and smoothness of the spline, the Chebyshev approximation which has given values of the function and its derivative in end points of spline links, is applied. The characteristic property of Chebyshev approximation for polynomial and rational approximating expression which acquire the true value of approximated function and its derivative in given points is discussed. The sufficient conditions of existence of Chebyshev approximation including Hermite’s interpolation in end points of a given interval by sum of polynomial and term with nonlinear parameter are obtained. An iterative method for finding out the value of exponent in case of using the sum of polynomial and exponential term as approximating expression is elaborated. The conditions of existence and methods of calculating of parameters of Chebyshev approximation using polynomial and rational expression for non-complete system of exponential functions are established. The existence of Chebyshev approximation with the lowest value of relative error for discrete functions possessing zero value is proved. The application of discussed Chebyshev approximation is illustrated by examples of solving practical problems. The features of program package «ApproCryo» written for establishing models of functional relationships based on experimental data by continuous and smooth minimax spline approximation are discribed. Диссертация посвящена моделированию функциональных зависимостей с примене­нием непрерывного и гладкого минимаксного сплайн-приближения. Развита теория непрерывного и гладкого минимаксного сплайн-приближения, разработаны методы и алгоритмы построения такого сплайн-приближения и показана эффективность его применения для аппроксимации низкотемператур­ной характеристики и чувствительности термодиодного сенсора. Для обеспечения непрерывности и гладкости сплайна используется чебышев­ское приближение, которое в точках стыка звеньев воспроизводит значение функции и ее производных. Установлено характеристическое свойство чебышевского прибли­же­ния функции полиномом и рациональным выражением с точным воспроизведением значения функции и ее производных в заданных точках. Получены достаточные условия сущес­твования чебышевского приближения с эрмитовым интерполированием в крайних точках отрезка суммой многочлена и выражения с нелинейным параметром. Предложен итерационный метод для определения показателя степени экспоненты в случае приближения суммой многочлена и экспоненты. Установлены условия существования и разработаны методы определения параметров чебышев­ского приближения функции полиномом и рациональным выражением по неполной системе степенных функций, а также чебышевского прибли­жения с наименьшей относительной погрешностью дискретных функций, которые приобретают нулевое значение. Поданы примеры применения рассмотренных чебышевских приближений к реше­нию практических задач. Описаны функциональные возможности пакета программ «АпроКрiо», предназначенного для определения моделей функциональ­ных зависимостей опытных данных с применением непрерывного и гладкого минимаксного сплайн-приближения. В первом разделе проведен анализ состояния проблемы. Дано определение непре­рывного и гладкого минимаксного сплайн-приближения функции и обосно­ванно целе­сооб­раз­ность его применения. Приведены характеристические свойства чебышев­ского приближения функции с интерполированием полиномом, рацио­наль­ным и нелиней­ным выражением, а также описан метод определения пара­метров такого приближения за схемой Ремеза. Предложена модификация алгорит­ма Валле-Пуссена на случай чебышев­ского приближения с интерполированием. Второй раздел посвящен методам построения непрерывного и гладкого мини­макс­ного сплайн-приближения полиномом. Установлены условия существова­ния чебы­шев­ского приближения функции многочленом с точным воспроизведением значений функции и ее производных в заданных точках. Предложен алгоритм построения непрерывного минимакс­ного сплайн-прибли­жения полиномом с непрерывными производными до определенного порядка. В третьем разделе рассмотрена задача построения непрерывного и гладкого мини­максного сплайн-приближения выражениями по чебышевской системе функций. Уста­но­влены условия существования чебышевского приближения такими выражения­ми с интер­полированием. Рассмотрена задача чебышевского приближе­ния полиномом по не­полной системе степенных функций, а также чебышевского приближения с наименьшей отно­сительной погрешностью функций, принимающих в отдельных точках нулевое значение. Четвертый раздел посвящен задаче непрерывного и гладкого минимакс­ного сплайн-приближения рациональным выражением. Установлены условия существо­вания чебышевского приближения рациональным выражением с точным воспро­изведе­нием значений функции и ее производных в заданных точках. Пред­ложен алгоритм построения непрерывного минимаксного сплайн-приближения функции рациональ­ным выражением с непрерывными производными произволь­ного порядка. Установлено характе­ристическое свойство чебышевского приближе­ния рацио­наль­ным выражением по неполной системе степенных функций. Приведен пример применения такого приб­ли­жения для определения параметров компенса­цион­ной связи для цифрового измеритель­ного прибора на основе АЦП с использованием нелинейных сенсоров. В пятом разделе рассмотрена задача чебышевского приближения с­ интер­поли­ро­ва­нием суммой многочлена и выражения с нелинейным параметром. Установ­лено достаточное условие существования такого приближения функции с наимень­шей абсолют­ной погрешностью и точным воспроизведением значения функции в крайних точках отрезка. Разработан метод определения параметров непрерывного минимаксного сплайн-приближения суммой многочлена и экспоненты. Шестой раздел посвящен чебышевскому приближению с эрмитовым интер­поли­ро­ва­нием суммой многочлена и выражения с нелинейным параметром. Установлены доста­точные условия существования и характеристическое свойство такого приближения с точным воспроизведением значения функции и ее производ­ной в крайних точках сегмента. Разработан алгоритм построения непрерывного и гладкого минимаксного сплайн-приближения суммой многочлена и экспоненты.Дисертація присвячена моделюванню функціональних залежностей із застосуван­ням неперервного й гладкого мінімаксного сплайн-наближення. Розвинено теорію неперер­вного й гладкого мінімаксного сплайн-наближення, розроблено методи та алгоритми побудови такого сплайн-наближення та показано ефективність його застосування для апроксимації низькотемпературної характеристики та чутливості термодіодного сенсора. Для забезпечення неперервності та гладкості сплайна використовується чебишов­ське наближення, яке в точках дотику ланок відтворює значення функції та її похідних. Вста­нов­лено характеристичну властивість чебишовського наближення функції поліномом і раціональним виразом із точним відтворенням значення функції та її похідних у заданих точках. Отримано достатні умови існування чебишов­ського наближення з ермітовим інтерполюванням у крайніх точках відрізка сумою многочлена й виразу з нелінійним параметром. Розроблено ітераційний метод для визначення показ­ника степеня експоненти у випадку наближення сумою многочлена й експоненти. Встановлено умови існування й розроблено методи визначення параметрів чебишовського наближення функції полі­но­мом і раціональним виразом за неповною системою степеневих функцій, а також чебишовського наближення з найменшою відносною похибкою дискретних функцій, що набувають нульового значення. Подано приклади застосування розглянутих чебишовських наближень до розв’язання практич­них задач. Описано можливості пакета програм «АпроКріо», призначеного для визначен­ня моделей функціональних залежностей дослідних даних із застосуванням неперер­вного та гладкого мінімаксного сплайн-наближення.