A survey on constructing Lyapunov functions for reaction-diffusion systems with delay and their application in biology

Abstract

Дослідження вмотивоване деякими біологічними та екологічними проблемами, що виникають через реакційно-дифузійну систему із затримками та крайовими умовами типу Неймана; знаючи пов’язані з ними функції Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь із затримкою, розглянуто метод визначення їхніх функцій Ляпунова для встановлення локальної/глобальної стійкості. За суттю, метод заснований на додаванні інтегральних членів до відповідної функції Ляпунова для звичайних диференціальних рівнянь. Новий підхід не є загальним, але він застосовний у широкому спектрі реакційно-дифузійних моделей з однією або більше дискретною затримкою, розподіленою затримкою та їх комбінацією. Щоб проілюструвати отриманий результат, подано застосування до епідеміологічної моделі реакції дифузії з часовою затримкою (латентний період) і непрямим ефектом передачі.Motivated by some biological and ecological problems given by reaction-diffusion systems with delays and boundary conditions of Neumann type and knowing their associated Lyapunov functions for delay ordinary differential equations, we consider a method for determining their Lyapunov functions to establish the local/global stability. The method is essentially based on adding integral terms to the corresponding Lyapunov function for ordinary differential equations. The new approach is not general but it is applicable in a wide variety of delays reaction-diffusion models with one discrete delay or more, distributed delay, and a combination of both of them. To illustrate our results, we present the method application to a reaction-diffusion epidemiological model with time delay (latency period) and indirect transmission effect.