An estimation accuracy of state observers under uncertain initial conditions

Abstract

A fast convergence speed of an observer helps improve the capability to track the states of a system for an arbitrary divergence between a real and an estimated initial conditions. This property of the observers is significantly useful if a system has fast dynamics and its states change rapidly. Thus, the convergence time is one of the main performance criteria of linear and non-linear state observers. This article presents a comparative analysis of observers for both linear and nonlinear systems in terms of the time of convergence of the observers. The following observers was chosen for this study: the Kalman filter (KF), extended Kalman filter (EKF), unscented Kalman filter (UKF), particle filter (PF), Luenberger observer (LO), and fuzzy-based Luenberger observer (Fuzzy-LO). The listed observers were studied using a non-linear mathematical model of an open-link locomotion module, which movements were studied in stochastic terrain conditions. The mathematical model was then simplified and simulated as a linear model with the purpose to estimate the efficiency of the linear observers. The Fuzzy-LO with an adaptive gain to the estimation error gives better results than the LO, especially in steady states. The PF with a simple Gaussian distribution provides a lower convergence speed than the KF, EKF, and UKF. To faster the convergence of the PF, a novel approach, PF*, that utilizes mixture probability density function of the distribution of initial particles was introduced in the article. Швидка збiжнiсть спостерiгача забезпечує можливiсть вiдстежувати стани системи для довiльного розузгодження мiж реальними та заданими початковими умовами. Така властивiсть спостерiгача особливо необхiдна, якщо система має швидку динамiку, а ї ї стани швидко змiнюються. Отже, час збiжностi є одним iз головних критерiїв вибору спостерiгачiв як для лiнiйних, так i для нелiнiйних систем. У цiй роботi подано порiвняльний аналiз спостерiгачiв для лiнiйних i нелiнiйних сис- тем з погляду часу збiжностi. На основi аналiзу лiтературних джерел для цього дослiдження вибранi такi спостерiгачi: фiльтр Калмана (KF), розширений фiльтр Калмана (EKF), -точковий фiльтр Калмана (UKF), фiльтр частинок (PF), спостерiгач Люенбергера (LO) та нечiткий спостерiгач Люенбергера (Fuzzy-LО). Перелiчених спостерiгачiв дослiджували на нелiнiйнiй математичнiй моделi модуля руху, який описує рух однiєї четвертої частини електромобiля в умовах стохастичного рельєфу. З метою оцiнки ефективностi лiнiйних спостерiгачiв математичну модель спростили до лiнiйної, нехтуючи усiма нелiнiйностями. Математичним моделюванням було встановлено, що Fuzzy-LO з адаптивним налаштуванням коефiцiєнтiв матрицi спостерiгача дає кращi результати, нiж традицiйний LO, особливо в усталених режимах. PF з початковим гауссiвським розподiлом точок простору стану системи забезпечує повiльнiшу швидкодiю спостерiгача, нiж KF, EKF та UKF. З метою пiдвищення швидкодiї PF, у роботi запропоновано новий алгоритм PF*, в якому використано сумiш гауссiвських розподiлiв для початкової генерацiї точок. Покращений алгоритм фiльтра частинок PF* забезпечив найшвидшу динамiку збiжностi оцiнених станiв динамiчної системи до значень станiв реальної системи порiвняно iз роглянутими спостерiгачами.