The evolution of geometric Robertson–Schr¨odinger uncertainty principle for spin 1 system

Abstract

Геометрична квантова механіка — це математичний опис, який показує, як квантова теорія може бути виражена у термінах гамільтонової динаміки фазового простору. Стани є точками в комплексному проективному просторі Гільберта, спостережувані є дійсними функціями у цьому просторі, а гамільтоновий потік визначається рівнянням Шредінгера у цьому описі. Питання вираження принципа невизначеності на геометричній мові нещодавно стало центром значних досліджень у геометричній квантовій механіці. Було показано, що принцип невизначеності Робертсона–Шедінгера, який є більш сильною версією співвідношення невизначеності, може бути визначений з точки зору симплектичної форми та ріманівської метрики. На основі цього формулювання досліджуємо динамічну поведінку співвідношення невизначеності для системи зі спіном 1. Показуємо, що для гамільтонового потоку принципи невизначеності Робертсона–Шредінгера не є інваріантними. Це пояснюється тим, що, на відміну від симплектичної області, ріманова метрика не є інваріантною для гамільтонового потоку у процесі еволюці

Geometric Quantum Mechanics is a mathematical framework that shows how quantum theory may be expressed in terms of Hamiltonian phase-space dynamics. The states are points in complex projective Hilbert space, the observables are real valued functions on the space, and the Hamiltonian flow is specified by the Schr¨odinger equation in this framework. The quest to express the uncertainty principle in geometrical language has recently become the focus of significant research in geometric quantum mechanics. One has demonstrated that the Robertson–Schr¨odinger uncertainty principle, which is a stronger version of the uncertainty relation, can be defined in terms of symplectic form and Riemannian metric. On the basis of this formulation, we study the dynamical behavior of the uncertainty relation for the spin 1 system in this work. We show that under Hamiltonian flow, the Robertson–Schr¨odinger uncertainty principles are not invariant. This is because, unlike the symplectic area, the Riemannian metric is not invariant under Hamiltonian flow throughout the evolution process.