Extending the application domain of the model order reduction method in calculating the electrostatic field

Abstract

A problem of determining the electrostatic field formed by a set of charged electrodes has been considered. The details of the approximate solving of the Dirichlet problem havebeen given for the Laplace’s equation in a substantially spatial formulation based on the use of the model order reduction method. The mathematical models have been improved and the problem of calculating the electrostatic field has been simplified, taking into account the present symmetry of electrodes positioning in electronic optics systems. For the eighth-order abstract group, three independent structures of the corresponding class of systems have been identified. The application domain of the model order reduction method based on finite-group theory for numerically solving integral equations has been extended by transforming the initial boundary-value problem not containing symmetrygroups into two problems. The boundary surface of one of them has a finite symmetry group and the other allows for a sufficiently simple numerical solution. This simplification of the problem is aimed at improving the accuracy of computational methods, eliminating sources of instability of these methods, and speeding up computations. To confirm the efficiency of the proposed algorithm, a model problem of calculating the electrostatic field of a quadrupole lens has been considered. The example of its solving demonstrates all the advantages of the developed computational algorithm. A number of numerical experiments have been conducted. The electrostatic field of the corresponding planar approximations has been calculated to verify the validity of the obtained results. Розглянуто проблему визначення електростатичного поля, утвореного сукупнiстю заряджених електродiв. Наведено деталi наближеного розв’язування задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в суттєво просторовому формулюваннi на основi використання методу редукцiї порядку моделi. Удосконалено математичнi моделi та спрощено задачу розрахунку електростатичного поля з урахуванням симетрiї розташування електродiв у системах електронної оптики. Для абстрактної групи восьмого порядку видiлено три незалежнi структури вiдповiдного класу систем. Розширено область використання методу редукцiї порядку моделi на основi теорiї скiнченних груп у разi чисельного розв’язування iнтегральних рiвнянь зведенням вихiдної крайової задачi, яка не мiстить групи симетрiї, до двох. Гранична поверхня однiєї з них володiє скiнченною групою симетрiї, а друга допускає достатньо просте чисельне розв’язування. Таке спрощення задачi спрямоване на пiдвищення точностi обчислювальних методiв, усунення джерел нестiйкостi цих методiв та пришвидшення обчислень. Для пiдтвердження дiєвостi запропонованого алгоритму розглянуто модельну задачу розрахунку електростатичного поля квадрупольної лiнзи. На прикладi ї ї розв’язування продемонстровано усi переваги розробленого обчислювального алгоритму. Проведено чисельнi експерименти. Для перевiрки достовiрностi отриманих результатiв розраховано електростатичне поле вiдповiдних плоских наближень.