Properties of the beta coefficient of the global minimum variance portfolio

Abstract

Стаття присвячена дослідженню статистичних властивостей вибіркової оцінки бета коефіцієнта у випадку, коли ваги еталонного портфеля є постійні, а цільовим є портфель з найменшою дисперсією. Знайдено асимптотичний розподіл вибіркової оцінки бета коефіцієнта за припущення, що вектор дохідностей активів має багатовимірний нормальний розподіл. На основі асимптотичного розподілу побудовано довірчий інтервал для бета коефіцієнта. Використовуючи щоденні дохідності акцій, включених до індексу DAX за період з 01.01.2018 по 30.09.2019, порівняно емпіричні та асимптотичні середні, дисперсії та щільності стандартизованої вибіркової оцінки бета коефіцієнта. Зауважено, що для великої кількості активів у портфелі зміщення стандартизованої вибіркової оцінки бета коефіцієнта збігається до нуля дуже повільно. Представлено скориговану оцінку бета коефіцієнта, для якої збіжність емпіричних дисперсій до асимптотичних не є значно повільнішою, ніж для вибіркової оцінки, але зміщення скоригованої оцінки є істотно меншим.The paper is devoted to the investigation of statistical properties of the sample estimator of the beta coefficient in the case when the weights of benchmark portfolio are constant and for the target portfolio, the global minimum variance portfolio is taken. We provide the asymptotic distribution of the sample estimator of the beta coefficient assuming that the asset returns are multivariate normally distributed. Based on the asymptotic distribution we construct the confidence interval for the beta coefficient. We use the daily returns on the assets included in the DAX index for the period from 01.01.2018 to 30.09.2019 to compare empirical and asymptotic means, variances and densities of the standardized estimator for the beta coefficient. We obtain that the bias of the sample estimator converges to zero very slowly for a large number of assets in the portfolio. We present the adjusted estimator of the beta coefficient for which convergence of the empirical variances to the asymptotic ones is not significantly slower than for a sample estimator but the bias of the adjusted estimator is significantly smaller.