Mathematical modeling of fluid flows through the piecewise homogeneous porous medium by R-function method

Abstract

Розглядається стаціонарна фільтраційна течія у кусково-однорідному ґрунті у припущенні, що виконується закон Дарсі. Математичною моделлю цієї задачі є еліптичне рівняння для функції течії, доповнене крайовими умовами другого роду на ділянках межі водойми і крайовими умовами першого роду на ділянках межі, що є непроникними для рідини. Також до постановки задачі входять умови спряження на лінії розділу двох ґрунтів. При цьому у постановку задачі входить невідоме значення повних витрат рідини, для визначення якого формулюється додаткове інтегральне співвідношення. Для чисельного аналізу розглядуваної крайової задачі пропонується використати структурно-варіаційний метод (метод R-функцій), що дозволить найбільш повно урахувати у обчислювальному алгоритмі усю геометричну та аналітичну інформацію, яка входить у постановку задачі. Від вихідної задачі здійснено перехід до крайової задачі з відомими крайовими умовами. Відповідно до методу R-функцій для побудованої структури розв’язку, яка точно враховує всі крайові умови отриманої задачі, обґрунтовано використання варіаційного метода Рітца для апроксимації невизначеної компоненти. Після цього з додаткового інтегрального співвідношення знаходиться наближене значення невідомих витрат рідини і наближений розв’язок вихідної задачі. Обчислювальний експеримент було проведено у області, яка має вигляд нижньої половини кільця для різних значень коефіцієнта фільтрації, якщо координатні функції побудовані на основі поліномів Лежандра. Отримано, що зі збільшенням кількості координатних функцій значення повних витрат має тенденцію до збіжності.

The stationary fluid flow through a piecewise homogeneous porous medium is considered under the assumption that Darcy’s law holds. The mathematical model of this problem is defined as an elliptic equation for the stream function, supplemented by the second-type boundary conditions at the water boundaries and the first-type boundary conditions at the impervious to liquid boundaries. The problem statement also includes the conditions of conjugation at the separation line between two soils and the unknown value of fluid discharge, which can be established from the additional integral ratio. It is proposed to use the structure-variational method of R-functions in order to numerically analyze and solve the current problem. The complete solution structure for the boundary value problem of stream function regarding the R-functions method is established, moreover, the application of the Ritz method for approximating an unspecified structural formula component is substantiated. Then, the approximate value of the fluid discharge and the approximate solution of the original problem are found from the additional integral ratio. The computational experiment was carried out with different coefficients of permeability within the area, which has the shape of the lower half ring. It is established that as the number of coordinate functions increases, the value of fluid discharge becomes constant, indicating the convergence of the proposed method.