Asymptotic analysis of the Korteweg–de Vries equation by the nonlinear WKB technique

Abstract

Дана стаття стосується побудови асимптотичних солітоноподібних розв’язків для рівняння Кортевега–де Фріза зі змінними коефіцієнтами та малим параметром при старшій похідній. Такі асимптотичні розв’язки вивчаються для широкого класу рівнянь з частинними похідними, які отримуються при математичному моделюванні процесів і явищ для випадку неоднорідних (за просторовою і часовою змінними) середовищ за наявності малої дисперсії і які є узагальненням певних інтегровних моделей. Шуканий розв’язок будується за допомогою нелінійного методу ВКБ, відповідно до якого асимптотичний розв’язок зображується у вигляді суми регулярної і сингулярної частин асимптотики. Якщо регулярна частина такого наближеного розв’язку математично описує фон, на якому відбувається хвильовий процес, то сингулярна частина цього розв’язку відображає характерні особливості, які пов’язані із солітонними властивостями рівняння Кортевега–де Фріза. Розглядається новий тип асимптотичних солітоноподібних розв’язків, коли головний доданок сингулярної частини шуканого асимптотичного розв’язку є швидко спадною функцією фазової змінної τ, а інші доданки є функціями сходинкового типу, тобто мають певну асимптотику на нескінченності. З огляду на ці властивості побудований асимптотичний розв’язок називається асимптотичним солітоноподібним розв’язком сходинкового типу. Представлено алгоритм побудови асимптотичних розв’язків даного типу, детально описано знаходження регулярної і сингулярної частин асимптотики, встановлено точність, з якою головний член побудованого асимптотичного розв’язку задовольняє вихідне рівняння.

The paper deals with the Korteweg–de Vries equation with variable coefficients and a small parameter at the highest derivative. The non-linear WKB technique has been used to construct the asymptotic step-like solution to the equation. Such a solution contains regular and singular parts of the asymptotics. The regular part of the solution describes the background of the wave process, while its singular part reflects specific features associated with soliton properties. The singular part of the searched asymptotic solution has the main term that, like the soliton solution, is the quickly decreasing function of the phase variable τ. In contrast, other terms do not possess this property. An algorithm of constructing asymptotic step-like solutions to the singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients is presented. In some sense, the constructed asymptotic solution is similar to the soliton solution to the Korteweg–de Vries equation ut + uux + uxxx = 0. Statement on the accuracy of the main term of the asymptotic solution is proven.