The path integral method in interest rate models

Abstract

Розглянуто метод функціонального інтегрування в стохастичних моделях Мертона та Васічека відсоткової ставки. Продемонстровано побудову функціональних інтегралів двома способами: перший — за мірою Вінера з підстановкою розв’язків стохастичних рівнянь для моделей; другий — перехід від міри Вінера до міри інтегрування пов’язаної зі стохастичними змінними рівнянь Мертона та Васічека. Розглянуто введення граничних умов у другому способі для усунення некоректних часових асимптотик класичних моделей Мертона та Васічека відсоткових ставок. На прикладі моделі Мертона з нульовим дрейфом розглянуто граничну умову Діріхлє. Отримано представлення функціональним інтегралом для часової структури відсоткової ставки. Наведено оцінку отриманих функціональних інтегралів, де показано, що часова асимптотика є обмеженою.

An application of path integral method to Merton and Vasicek stochastic models of interest rate is considered. Two approaches to a path integral construction are shown. The first approach consists in using Wieners measure with the following substitution of solutions of stochastic equations into the models. The second approach is realised by using transformation from Wieners measure to the integral measure related to the stochastic variables of Merton and Vasicek equations. The introduction of boundary conditions is considered in the second approach in order to remove incorrect time asymptotes from the classic Merton and Vasicek models of interest rates. By the example of Merton model with zero drift, a Dirichlet boundary condition is considered. A path integral representation of term structure of interest rate is obtained. The estimate of the obtained path integrals is performed, where it is shown that the time asymptote is limited.