Mathematical Modeling And Computing
Permanent URI for this communityhttps://ena.lpnu.ua/handle/ntb/25918
Browse
150 results
Search Results
Item Synthesis of two-dimensional antenna arrays by the method of generalized separation of variables(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Yaroshko S. M.; Yaroshko S. A.; Ярошко С. М.; Ярошко С. А.The method of generalized separation of variables is used to solve the problem of synthesis of antenna array with given form according to a given amplitude radiation pattern. An approximate solution obtained as a sum of terms with separated indexes. Such terms are calculated successively one by one at each step of the method from the condition of minimum of the corresponding functional. The minimization problem is reduced to the problem of solving the system of non-linear algebraic equations. General approaches of the method are specified for the cases of flat rectangular, flat hexagonal and cylindrical arrays. Proper attention has been paid to building effective computing procedures. The numerical results of solving several model problems are given. It is shown that the method allows us to get a satisfactory solution from a practical point of view in two to three steps. Метод узагальненого роздiлення змiнних застосовано для розв’язування задач синтезу двовимiрних антенних ґраток заданої форми за заданими амплiтудними дiаграмами напрямленостi. Наближений розв’язок шукають у виглядi суми доданкiв iз роздiленими iндексами. Такi доданки знаходять послiдовно, по одному на кожному кроцi методу з умови мiнiмуму вiдповiдного функцiонала. Задачу мiнiмiзацiї зведено до задачi розв’язування нелiнiйної системи алгебричних рiвнянь. Загальнi пiдходи методу конкретизовано для випадкiв плоских прямокутних, плоских гексагональних i цилiндричних ґраток. Належну увагу придiлено побудовi ефективних обчислювальних процедур. Наведено числовi результати розв’язування декiлькох модельних задач. Показано, що метод дає змогу отримати задовiльний з практичного погляду наближений розв’язок за два–три кроки.Item Asymptotic solutions of soliton type of the Korteweg–de Vries equation with variable coefficients and singular perturbation(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Samoilenko V. H.; Samoilenko Yu. I.; Limarchenko V. O.; Vovk V. S.; Zaitseva K. S.; Самойленко В. Г.; Самойленко Ю. I.; Лимарченко В. О.; Вовк В. С.; Зайцева К. С.The paper deals with the singularly perturbed Korteweg–de Vries equation with variable coefficients. The equation describes wave processes in various inhomogeneous media with variable characteristics and small dispersion. We consider the general algorithm of construction of asymptotic solutions of soliton type to the equation and present its approximate solutions of this type. We analyze properties of the constructed asymptotic solution depending on a small parameter. The results are demonstrated by the examples of the studied equation. We show that for an adequate description of qualitative properties of soliton type solutions to the singularly perturbed KdV equation with variable coefficients it is necessary to construct at least the first asymptotic approximation, that is, expansion containing both the main and the first term. У статтi розглянуто сингулярно збурене рiвняння Кортевега–де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами, яке описує хвильовi процеси в рiзних неоднорiдних середовищах зi змiнними характеристиками та малою дисперсiєю. Розглянуто загальний алгоритм побудови асимптотичних розв’язкiв солiтонного типу i подано такi розв’язки для цього рiвняння. Проаналiзовано властивостi побудованого асимптотичного розв’язку залежно вiд малого параметра. Результати продемонстровано на прикладах. Показано, що для адекватного опису якiсних властивостей асимптотичного розв’язку солiтонного типу для сингулярно збуреного рiвняння Кортевега–де Фрiза зi змiнними коефiцiєнтами необхiдно будувати щонайменше перше асимптотичне наближення, тобто розклад, що мiстить як головний, так i перший члени асимптотики.Item Functionally gradient isotropic cylindrical shell locally heated by heat sources(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Musii R. S.; Zhydyk U. V.; Mokryk O. Yа.; Melnyk N. B.; Мусiй Р. С.; Жидик У. В.; Мокрик О. Я.; Мельник Н. Б.The stress-strain state of a functionally gradient isotropic thin circular cylindrical shell under local heating by a flat heat source has been investigated. For this purpose, a mathematical model of the classical theory of inhomogeneous shells has been used. A two-dimensional heat equation is derived under the condition of a linear dependence of the temperature on the transverse coordinate. The solutions of the non-stationary heat conduction problem and the quasi-static thermoelasticity problem for a finite closed cylindrical pivotally supported shell have been obtained by means of methods of Fourier and Laplace integral transforms. Numerical results are presented for the metal–ceramic composite used to restore the integrity of human tooth crowns. Дослiджено напружено-деформований стан функцiонально-градiєнтної iзотропної кругової тонкої цилiндричної оболонки за локального нагрiвання плоским джерелом тепла. Для цього використано математичну модель класичної теорiї неоднорiдних оболонок. Двовимiрне рiвняння теплопровiдностi виведено за умови лiнiйної залежностi температури вiд поперечної координати. Методами iнтегральних перетворень Фур’є i Лапласа знайдено розв’язок нестацiонарної задачi теплопровiдностi та квазiстатичної задачi термопружностi для скiнченної шарнiрно опертої замкненої цилiндричної оболонки. Числовi результати наведено для композиту метал–керамiка, що використовується для вiдновлення цiлiсностi коронок зубiв людини.Item Extending the application domain of the model order reduction method in calculating the electrostatic field(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Mochurad L. I.; Мочурад Л. I.A problem of determining the electrostatic field formed by a set of charged electrodes has been considered. The details of the approximate solving of the Dirichlet problem havebeen given for the Laplace’s equation in a substantially spatial formulation based on the use of the model order reduction method. The mathematical models have been improved and the problem of calculating the electrostatic field has been simplified, taking into account the present symmetry of electrodes positioning in electronic optics systems. For the eighth-order abstract group, three independent structures of the corresponding class of systems have been identified. The application domain of the model order reduction method based on finite-group theory for numerically solving integral equations has been extended by transforming the initial boundary-value problem not containing symmetrygroups into two problems. The boundary surface of one of them has a finite symmetry group and the other allows for a sufficiently simple numerical solution. This simplification of the problem is aimed at improving the accuracy of computational methods, eliminating sources of instability of these methods, and speeding up computations. To confirm the efficiency of the proposed algorithm, a model problem of calculating the electrostatic field of a quadrupole lens has been considered. The example of its solving demonstrates all the advantages of the developed computational algorithm. A number of numerical experiments have been conducted. The electrostatic field of the corresponding planar approximations has been calculated to verify the validity of the obtained results. Розглянуто проблему визначення електростатичного поля, утвореного сукупнiстю заряджених електродiв. Наведено деталi наближеного розв’язування задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в суттєво просторовому формулюваннi на основi використання методу редукцiї порядку моделi. Удосконалено математичнi моделi та спрощено задачу розрахунку електростатичного поля з урахуванням симетрiї розташування електродiв у системах електронної оптики. Для абстрактної групи восьмого порядку видiлено три незалежнi структури вiдповiдного класу систем. Розширено область використання методу редукцiї порядку моделi на основi теорiї скiнченних груп у разi чисельного розв’язування iнтегральних рiвнянь зведенням вихiдної крайової задачi, яка не мiстить групи симетрiї, до двох. Гранична поверхня однiєї з них володiє скiнченною групою симетрiї, а друга допускає достатньо просте чисельне розв’язування. Таке спрощення задачi спрямоване на пiдвищення точностi обчислювальних методiв, усунення джерел нестiйкостi цих методiв та пришвидшення обчислень. Для пiдтвердження дiєвостi запропонованого алгоритму розглянуто модельну задачу розрахунку електростатичного поля квадрупольної лiнзи. На прикладi ї ї розв’язування продемонстровано усi переваги розробленого обчислювального алгоритму. Проведено чисельнi експерименти. Для перевiрки достовiрностi отриманих результатiв розраховано електростатичне поле вiдповiдних плоских наближень.Item Improvement of variational-gradient method in dynamical systems of automated control for integro-differential models(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Mashkov O. A.; Sobchuk V. V.; Barabash O. V.; Dakhno N. B.; Shevchenko H. V.; Maisak T. V.; Машков О. А.; Собчук В. В.; Барабаш О. В.; Дахно Н. Б.; Шевченко Г. В.; Майсак Т. В.The dynamical systems given by integro-differentiation models with K-symmetric K-positive-definite operator are considered. The variational-gradient method was applied to those models. The analysis showed that the implementation of this method does not require knowledge of the operator spectrum, in addition, it has a better convergence rate and is more resistant to disturbances than gradient methods. The theorem is proved in this paper, which allows us to draw conclusions about the effectiveness of the application of the variational-gradient method for the research of control problems. Investigation of an integro-differential model with a K-positive-definite K-symmetric operator using the variational-gradient method will increase the efficiency of information processing in the processes of control and research of dynamic systems. Application of the variationalgradient method to the control tasks will allow expanding the range of tasks under consideration. It is noted that the development of modern technologies entails an increase in the complexity of control objects, an increase in the quality requirements and the accuracy of control due to the increase in the cost of control error. This makes to be essential further development and improvement of methods that solve the problems of optimal control, for example, unmanned aerial vehicles. As the model example, the application of the variational-gradient method to the models of automated control systems for unmanned aerial vehicles is considered. Розглянуто динамiчнi системи, що заданi iнтегро-диферецiйними моделями з K-симетричним K-позитивно визначеним оператором. До зазначених моделей застосовано варiацiйно-градiєнтний метод. Проведений аналiз показав, що для реалiзацiї цього методу не потрiбно знання спектра оператора, крiм того, у нього вища швид- кiсть збiжностi та стiйкiсть до збурень порiвняно з градiєнтними методами. В роботi доведено теорему, яка дає змогу зробити висновки про ефективнiсть застосування варiацiйно-градiєнтного методу для дослiдження завдань управлiння. Дослiдження iнтегро-диференцiйної моделi з K-позитивно визначеним K-симетричним оператором за допомогою варiацiйно-градiєнтного методу дозволить пiдвищити оперативнiсть опрацювання iнформацiї в процесах управлiння i дослiдження динамiчних систем. Застосування варiацiйно-градiєнтного методу до задач управлiння розширить коло задач, що розглядаються. Оскiльки розвиток сучасних технологiй спричинює зростання складностi об’єктiв управлiння, пiдвищення вимог до якостi й точностi управлiння внаслiдок зростання цiни управлiнської помилки, необхiднi подальший розвиток та удосконалення методiв, якi вирiшують завдання оптимального управлiння, наприклад, безпiлотними лiтальними апаратами. На модельному прикладi розглянуто застосування варiацiйно-градiєнтного методу до моделей систем автоматизованого управлiння безпiлотними лiтальними апаратами.Item Consensus control of multi-agent systems with input delays: a descriptor model approach(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Lyubchyk L. M.; Dorofieiev Y. I.; Любчик Л. М.; Дорофєєв Ю. I.This paper addresses the consensus control design for multi-agent systems with input time delay, which is unknown but bounded. Descriptor transformation is used to obtain a model without delay for closed-loop individual agent. The sufficient conditions for global consensus under directed communication topology are identified using Lyapunov–Krasovskii functional. To analyze the stability of the networked multi-agent system based on the relationship between the agents, the Lyapunov function method using corresponding comparison system is used. The effectiveness of the proposed control design method is demonstrated by a numerical simulation example. У статтi розглянуто задачу консенсусного керування мультиагентними системами iз запiзнюваннями на входi, якi є невiдомими, але обмеженими. Дескрипторне перетворення використовується для отримання моделi замкнутого локального агента без запiзнювань. За допомогою функцiонала Ляпунова–Красовського визначено достатнi умови досягнення глобального консенсусу в системi, де взаємодiя мiж агентами вiдповiдає заданiй топологiї. Для аналiзу стiйкостi мережi взаємозв‘язаних агентiв використано метод функцiй Ляпунова, побудувавши вiдповiдну систему порiвняння. Ефективнiсть запропонованого методу синтезу керування продемонстровано за допомогою чисельних прикладiв.Item An estimation accuracy of state observers under uncertain initial conditions(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Lozynskyy A. O.; Demkiv L. I.; Vantsevich V. V.; Borovets T. V.; Gorsich D. J.; Лозинський A. O.; Демкiв Л. I.; Ванцевич В. В.; Боровець Т. В.; Горсiч Д. Д.A fast convergence speed of an observer helps improve the capability to track the states of a system for an arbitrary divergence between a real and an estimated initial conditions. This property of the observers is significantly useful if a system has fast dynamics and its states change rapidly. Thus, the convergence time is one of the main performance criteria of linear and non-linear state observers. This article presents a comparative analysis of observers for both linear and nonlinear systems in terms of the time of convergence of the observers. The following observers was chosen for this study: the Kalman filter (KF), extended Kalman filter (EKF), unscented Kalman filter (UKF), particle filter (PF), Luenberger observer (LO), and fuzzy-based Luenberger observer (Fuzzy-LO). The listed observers were studied using a non-linear mathematical model of an open-link locomotion module, which movements were studied in stochastic terrain conditions. The mathematical model was then simplified and simulated as a linear model with the purpose to estimate the efficiency of the linear observers. The Fuzzy-LO with an adaptive gain to the estimation error gives better results than the LO, especially in steady states. The PF with a simple Gaussian distribution provides a lower convergence speed than the KF, EKF, and UKF. To faster the convergence of the PF, a novel approach, PF*, that utilizes mixture probability density function of the distribution of initial particles was introduced in the article. Швидка збiжнiсть спостерiгача забезпечує можливiсть вiдстежувати стани системи для довiльного розузгодження мiж реальними та заданими початковими умовами. Така властивiсть спостерiгача особливо необхiдна, якщо система має швидку динамiку, а ї ї стани швидко змiнюються. Отже, час збiжностi є одним iз головних критерiїв вибору спостерiгачiв як для лiнiйних, так i для нелiнiйних систем. У цiй роботi подано порiвняльний аналiз спостерiгачiв для лiнiйних i нелiнiйних сис- тем з погляду часу збiжностi. На основi аналiзу лiтературних джерел для цього дослiдження вибранi такi спостерiгачi: фiльтр Калмана (KF), розширений фiльтр Калмана (EKF), -точковий фiльтр Калмана (UKF), фiльтр частинок (PF), спостерiгач Люенбергера (LO) та нечiткий спостерiгач Люенбергера (Fuzzy-LО). Перелiчених спостерiгачiв дослiджували на нелiнiйнiй математичнiй моделi модуля руху, який описує рух однiєї четвертої частини електромобiля в умовах стохастичного рельєфу. З метою оцiнки ефективностi лiнiйних спостерiгачiв математичну модель спростили до лiнiйної, нехтуючи усiма нелiнiйностями. Математичним моделюванням було встановлено, що Fuzzy-LO з адаптивним налаштуванням коефiцiєнтiв матрицi спостерiгача дає кращi результати, нiж традицiйний LO, особливо в усталених режимах. PF з початковим гауссiвським розподiлом точок простору стану системи забезпечує повiльнiшу швидкодiю спостерiгача, нiж KF, EKF та UKF. З метою пiдвищення швидкодiї PF, у роботi запропоновано новий алгоритм PF*, в якому використано сумiш гауссiвських розподiлiв для початкової генерацiї точок. Покращений алгоритм фiльтра частинок PF* забезпечив найшвидшу динамiку збiжностi оцiнених станiв динамiчної системи до значень станiв реальної системи порiвняно iз роглянутими спостерiгачами.Item Mathematical modeling of the heating process in a vortex tube at the gas distribution stations(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Labay V. Y.; Savchenko O. O.; Zhelykh V. M.; Kozak Kh. R.; Лабай В. Й.; Савченко О. О.; Желих В. М.; Козак Х. Р.In all sectors of the national economy of Ukraine, issues of energy efficiency and saving of fuel and energy resources are important. Legislative changes in the branches and scientific developments of scientists allow reducing the energy dependence of Ukraine on imported fuels. One of the energy-saving measures for the transportation of natural gas is the use of a vortex tube for heating natural gas at gas distribution stations. Natural gas is heated before the process of reducing it in the gas pressure regulator to prevent the formation ofcrystalline hydrates within the gas pressure regulator. The complexity of the implementation of such a measure is the explosion of the fire hazard of natural gas, which makes it impossible to conduct a sufficient number of experimental studies to determine the required characteristics of the vortex tube for operation at the gas distribution station. Therefore, for the wide introduction of a vortex tube at gas distribution stations, a generalized mathematical model should be developed that would allow describing the process of heating the vortex tube of a working gas with different thermophysical parameters. In this paper, the thermodynamic and physical bases of the process of heating the compressed gases in the vortex tube are considered and the main parameters that influence the operation of the vortex tube are determined. The mathematical model of the process of heating the natural gas in a vortex tube is scientifically substantiated and improved. To improve the mathematical model of the natural gas heating process in the vortex tube, loss of dynamic pressure was determined on each characteristic section of the vortex tube and the degree of heating therein. Moreover, the mathematical model proposed by the authors allows us to determine the thermal power of the vortex tube and the amount of heat needed to heat the working gas in the vortex tube. У всiх галузях народного господарства України важливе мiсце займають питання енергоефективностi та економiї паливно-енергетичних ресурсiв. Законодавчi змiни у галузях та науковi розробки вчених дозволяють зменшити енергетичну залежнiсть України вiд iмпортного палива. Одним iз енергоощадних заходiв пiд час транспортування природного газу є використання вихрової труби для нагрiвання природного газу на газорозподiльних станцiях. Природний газ нагрiвають перед процесом його редукування у регуляторi тиску газу щоб запобiгти утворенню кристалогiдратiв всерединi регулятора тиску газу. Складнiсть впровадження такого заходу полягає у вибухо- та пожежонебезпечностi природного газу, що унеможливлює проведення достатньої кiлькостi експериментальних дослiджень для визначення необхiдних характеристик вихрової труби для роботи на газорозподiльнiй станцiї. Тому для широкого впровадження вихрової труби на газорозподiльних станцiях необхiдно розробити узагальнену математичну модель, яка би дала змогу описати процес нагрiвання у вихро- вiй трубi робочого тiла з рiзними теплофiзичними параметрами. У статтi розглянуто термодинамiчнi та фiзичнi основи процесу нагрiвання стиснених газiв у вихровiй трубi та визначено основнi показники, якi впливають на роботу вихрової труби. Науково обґрунтовано та удосконалено математичну модель процесу нагрiвання природного газу у вихровiй трубi. Для удосконалення математичної моделi нагрiвання природного газу у вихровiй трубi визначено втрати динамiчного тиску на кожнiй характернiй дiлянцi вихрової труби та ступiнь нагрiвання в нiй. Разом з тим запропонована мате- матична модель дає змогу визначити теплову потужнiсть вихрової труби та кiлькiсть теплоти, необхiдної для нагрiвання робочого тiла у вихровiй трубi.Item Economic and mathematical modeling of the distribution of financial resources for research and development(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Kuzmin О. Ye.; Tsehelyk G. G.; Yastrubskyy М. Ya.; Кузьмiн О. Є.; Цегелик Г. Г.; Яструбський М. Я.The authors constructed an economic-mathematical model of optimal allocation of financialresources for research and development using the mechanism of dynamic programming. In the conditional example, the authors calculated the allocation of budget funds using the method of dynamic programming. In order to evaluate the prospects of applying the proposed model, the authors analyzed the current state of funding for research and development and considered the positive foreign experience. The expediency of using the proposed model in domestic practice is substantiated. dynamic programming, scientific research, financial resources, budgetary resources, science development strategy. Побудовано економiко-математичну модель оптимального розподiлу фiнансових ресурсiв на науковi дослiдження i розробки з використанням механiзму динамiчного програмування. На умовному прикладi здiйснено розрахунок розподiлу бюджетних коштiв з використанням методу динамiчного програмування. З метою оцiнки перспектив застосування запропонованої моделi проаналiзовано стан фiнансування наукових дослiджень i розробок та розглянуто позитивний зарубiжний досвiд. Обґрунтовано доцiльнiсть використання запропонованої моделi у вiтчизнянiй практицi.Item Influence of the electroneutrality of a metal layer on the plasmon spectrum in dielectric–metal–dielectric structures(Lviv Politechnic Publishing House, 2019) Kostrobij P. P.; Markovych B. M.; Polovyi V. Ye.; Костробiй П. П.; Маркович Б. М.; Польовий В. Є.In this paper, we propose a model that allows us to investigate the influence of quantum size effects and the electroneutrality condition on the spectrum of SPPs waves as a function of metal thickness in heterogeneous dielectric/metal/dielectric structures. It is shown that for ultrathin metal layers, the spectrum of plasmon waves has oscillatory behavior in the domain of small wave vectors (k ≈ 0.05−0.2 nm−1). The amplitude of oscillations depends on the conditions of electroneutrality for the dielectric/metal/dielectric structure. surface plasmon, plasmon spectrum, metal layer thickness, dielectric permittivity, electroneutrality. У роботi запропоновано модель, яка дає змогу дослiдити вплив квантоворозмiрних ефектiв та умови електронейтральностi на спектр SPPs хвиль як функцiї товщини металу в гетерогенних структурах “дiелектрик–метал–дiелектрик”. Показано, що для надтонких металевих прошаркiв спектр плазмонних хвиль проявляє осциляцiйну поведiнку в областi малих хвильових векторiв (k ≈ 0.05 − 0.2 нм−1). Амплiтуда осциляцiй залежить вiд умов електронейтральностi для структури “дiелектрик–метал–дiелектрик”.