Axially symmetric elasticity problems for the hollow cylinder with the stress-free ends. Analytical solving via a variational method of homogeneous solutions

Abstract

Розглянуто осесиметричну задачу для порожнистого цилiндра iз ненавантаженими основами. На внутрiшнiй i зовнiшнiй цилiндричних поверхнях задано нормальнi i тангенцiальнi навантаження. Задачу зведено до бiгармонiчного рiвняння з вiдповiдними крайовими умовами. За допомогою методу вiдокремлення змiнних отримано однорiдну крайову задачу для звичайного диференцiального рiвняння. Використовуючи власнi функцiї цiєї задачi, побудувано систему однорiдних розв’язкiв вихiдної бiгармонiчної задачi. Її розв’язок, який поданий як розвинення за цими функцiями, залежить вiд чотирьох безмежних послiдовностей невизначених дiйсних констант. Для визначення невiдомих констант застосовано варiацiйний метод, згiдно з яким пiдпорядкування розв’язку крайовим умовам, що заданi на цилiндричних поверхнях, здiйснюється не поточково, а “в середньому” — за нормою L2. З цiєю метою введено функцiонал, який визначає середньоквадратичне вiдхилення розв’язку вiд крайових умов, що заданi на цилiндричних поверхнях. У результатi отримано безмежну систему алгебраїчних рiвнянь, яку розв’язано за допомогою методу редукцiї. Проведенi кiлькiснi дослiдження пiдтвердили добру збiжнiсть методу.

An axially symmetric problem for a hollow cylinder with unloaded bases is considered. On the inner and outer cylindrical surfaces, the normal and tangential loads are prescribed. The problem is reduced to a biharmonic equation with corresponding boundary conditions. Application of the method of variables separation results in a homogeneous boundary value problem for the ordinary differential equation. Its eigenfunctions have been used to construct an infinite system of homogeneous solutions for the initial biharmonic problem. Its solution, represented as a series expansion in terms of homogeneous solutions, depends on four infinite sequences of real constants. To determine them, the variational method has been applied, in which the subordination of the solution to the boundary conditions, given on cylindrical surfaces, is performed in the norm L2. It brings to an infinite system of algebraic equations which has been solved by the reduction method. The quantitative studies have confirmed the good convergence of the method.